Télécharge Exercitations de mathématique 6 et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement!
Terminale S juin 2009
Centres étrangers 1
1. Exercice 1
5 points
1. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle que deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et
seulement si : p (^) A B (^) p (^) A (^) p (^) B .
Soient A et B deux événements associés à une expérience aléatoire.
a. Démontrer que p (^) B (^) p (^) B A (^) p (^) B A .
b. Démontrer que, si les événements A et B sont indépendants pour la probabilité p , alors les événements A et B le sont également.
2. Application
Chaque matin de classe Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :
- R : « II n'entend pas son réveil sonner » ;
- S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».
II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure.
a. Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.
b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.
c. Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.
Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.
2. Exercice 2 (non spécialistes)
5 points
On se propose dans cet exercice d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j k , ), orthonormal.
On considère les points A (3, 4, 0) ; B (0, 5, 0) et C (0, 0, 5). On note I le milieu du segment [ AB ].
- Faire une figure où l'on placera les points A , B , C , I dans le repère ( O ; i , j k , ).
- Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
Quelle est la nature du triangle ABC?
- Soit H le point de coordonnées
a. Démontrer que les points H , C , I sont alignés.
b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan ( ABC ).
c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
- Calculs d'aire et de volume.
a. Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
b. Déterminer la distance du point O au plan ( ABC ).
c. Calculer l'aire du triangle ABC.
3. Exercice 2 (spécialistes)
5 points
- On note (E) l'équation 3 x + 2 y = 29 où x et y sont deux nombres entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E).
b. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
c. Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois x > 0 et y > 0.
- Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées.
L'espace est muni du repère orthonormal ( O ; i , j k , )et on désigne par (P) le plan d'équation 3 x + 2 y =
a. Démontrer que (P) est parallèle à l'axe ( Oz ) de vecteur directeur k.
b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan (P) avec les axes ( Ox ) et ( Oy ) de
vecteurs directeurs respectifs i et j.
c. Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan (P) avec les trois plans de coordonnées.
d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans (P) et ( xOy ), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.
- Étude d'une surface.
(S) est la surface d'équation 4 z = xy dans le repère ( O ; i , j k , ).
Les figures suivantes représentent les intersections de y avec certains plans de l'espace.
figure n° 1 figure n° 2 figure n° 3 figure n° 4
a. S 1 désigne la section de la surface (S) par le plan ( xOy ). Une des figures données représente S 1 , laquelle?
b. S 2 désigne la section de la surface (S) par le plan (R) d’équation z 1_._ Une des figures données représente S 2 , laquelle?
c. S 3 désigne la section de la surface (S) par le plan d’équation y 8_._ Une des figures données représente
S 3 , laquelle?
d. S 4 désigne la section de la surface (S) par le plan (P) d'équation 3 x + 2 y = 29 de la question 2.
Déterminer les coordonnées des points communs à S 4 et (P) dont l'abscisse x et l'ordonnée y sont des entiers naturels vérifiant l'équation 3 x + 2 y = 29.
4. Exercice 3
4 points
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.
- Pour tout complexe z , 2 2 Re z Re z.
- Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u v , ).
Pour tout nombre complexe z non nul, les points M d'afîïxe z , N d'affixe z et P d'affixe
z^2 z appartiennent à un même cercle de centre O.
- Pour tout nombre complexe z , si 1 iz 1 iz alors la partie imaginaire de z est nulle.
- Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u v , ). Quels que soient les nombres
complexes z et z ’ non nuls, d'images respectives M et M ' dans le plan complexe, si z et z ’ vérifient l'égalité
z z ' z z ' , alors les droites ( OM ) et ( OM ’) sont perpendiculaires.
5. Exercice 4
6 points
Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions fn
On pose, pour tout entier naturel n :
1
0
u n fn x dx.
- Calculer u 1 puis montrer que (^) u 0 (^) u 1 1. En déduire u 0.
- Démontrer que, pour tout entier n :
1
0
0 un e nxdx.
- Calculer l'intégrale
1
0
e ^ nxdx
. En déduire que la suite un est convergente et préciser sa limite.
