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[ Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire en- suite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.
Question 1 Le jeu est : A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à A :
B :
C :
Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes dif- férentes est égale à : A :
B :
C :
EXERCICE 2 5 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives z A = 2, z B = 1 + i
p 3 et z C = 1 − i
p
Partie A
1. a. Donner la forme exponentielle de z B puis de z C. b. Placer les points A, B et C. 2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. 3. Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que | z | = | z − 2 |.
Partie B
À tout point M d’affixe z tel que z 6 = z A, on associe le point M ′^ d’affixe z ′^ défini par
z ′^ =
z − 2
1. a. Résoudre dans C l’équation z =
z − 2
b. En déduire les points associés aux points B et C. c. Déterminer et placer le point G′^ associé au centre de gravité G du triangle OAB.
2. a. Question de cours : Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté | z | , vérifie | z |^2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que : - pour tous nombres complexes z 1 et z 2 , | z 1 × z 2 | = | z 1 | × | z 2 |. - pour tout nombre complexe z non nul,
z
∣ =^
| z |
b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,
∣ ∣ z ′^ − 2
∣ (^) = 2 | z | | z − 2 |
c. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D, où D est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point M ′^ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.
EXERCICE 2 5 points Exercice de spécialité
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité graphique : 4 cm).
Soit Ω le point d’affixe 2.
On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle
π 4
et h l’homothétie de centre Ω et de
rapport
p 2 2
1. On pose σ = h ◦ r. a. Quelle est la nature de la transformation σ? Préciser ses éléments carac- téristiques.
b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : z 7 −→
1 + i 2
z + 1 − i.
c. Soit M un point quelconque du plan d’affixe z. On désigne par M ′^ son image par σ et on note z ′^ l’affixe de M ′. Montrer que z − z ′^ = i
2 − z ′
2. a. Question de cours - Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.
Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a , alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle
π 2
est le point Q d’affixe q telle que q − a = i( p − a ). b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle Ω M M ′^ , pour M distinct de Ω.
3. Soit A 0 le point d’affixe 2 + i. On considère la suite ( An ) de points du plan définis par :
pour tout entier naturel n , An + 1 = σ (^) ( An ).
a. Montrer que, pour tout entier naturel n , l’affixe an de An est donnée par :
an =
( (^) p 2 2
) n ei^
( n +2) π (^4) + 2.
b. Déterminer l’affixe de A 5.
EXERCICE 4 7 points
Le plan est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
On s’intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant les conditions
{ (1) : pour tout réel x appartenant à[0 ; +∞[, f ′( x ) = 4 −
[
f ( x )
] 2
(2) : f (0) = 0
On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L’annexe sera com- plétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.
Partie A. Étude d’une suite
Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. On obtient ainsi une suite de points notés ( Mn ), d’abscisse xn et d’ordonnée yn telles que :
{ x 0 = 0 et pour tout entier naturel n , xn + 1 = xn + 0, y 0 = 0 et pour tout entier naturel n , yn + 1 = −0,2 y^2 n + yn + 0,
1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−^4 près. b. Placer, sur le graphique donné en annexe, les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7. c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite
yn
et sur sa convergence?
2. a. Pour x réel, on pose p ( x ) = −0,2 x^2 + x +0,8. Montrer que si x ∈ [0 ; 2] alors p ( x ) ∈ [0 ; 2].
b. Montrer que pour tout entier naturel n , 0 6 yn 6 2.
c. Étudier le sens de variation de la suite
yn
d. La suite
yn
est-elle convergente?
Partie B. Étude d’une fonction
Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g ( x ) = 2
e^4 x^ − 1 e^4 x^ + 1
et
C g
sa courbe repré-
sentative.
1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2). 2. a. Montrer que
C g
admet une asymptote ∆ dont on donnera une équa- tion. b. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[.
3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à
C g
à l’origine.
4. Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe
C g
et les éléments mis en évi- dence dans les questions précédentes de cette partie B.
Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l’épreuve Exercice 4 : Annexe Partie A
n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0, yn 0 0,800 0 1,472 0
Partie B
