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[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
1. Restitution organisée des connaissances Pré-requis : — la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa fonction dérivée est la fonction inverse
x 7 →
x
— ln(1) = 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x ,
ln( ax ) = ln( a ) + ln( x ).
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que
ln
b
= − ln( b ) et que ln
( (^) a b
= ln( a ) − ln( b )
pour tous réels strictement positifs a et b.
3. On donne 0,69 6 ln 2 6 0,70 et 1,09 6 ln 3 6 1,10.
En déduire des encadrements de ln 6, ln
, et ln
EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats
QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0. Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.
1. L’équation e^2 x^ − 3e x^ − 4 = 0 admet dans R : a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 so- lutions 2. L’expression −e− x
a. n’est jamais négative
b. est toujours négative
c. n’est négative que si x est po- sitif
d. n’est néga- tive que si x est négatif
3. (^) x →+∞lim
2e x^ − 1 e x^ + 2
a. −
b. 1 c. 2 d. +∞
4. L’équation différentielle y = 2 y ′^ − 1 a pour ensemble de solutions :
a. x 7 → k e^2 x^ − 1 avec k ∈ R
b. x 7 → k e
1 2 x^ + 1 avec k ∈ R
c. x 7 → k e
1 2 x^ − 1 avec k ∈ R
d. x 7 → k e^2 x^ +
avec k ∈ R
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats Partie A
Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
On rappelle que P ( X 6 a ) =
∫ a
0
λ e− λt^ d t.
La courbe donnée en ANNEXE 1 représente la fonction densité associée.
1. Interpréter sur le graphique la probabilité P ( X 6 1).
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.
Partie B
On pose λ = 1,5.
1. Calculer P ( X 6 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à
10 −^3 près par excès.
2. Calculer P ( X > 2).
3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 6 X 6 2) = 0,173 à
10 −^3 près.
4. Calculer l’intégrale F ( x ) =
∫ x
0
1,5 t e−1,5 t^ d t. Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F ( x ) ; on obtient ainsi l’espé- rance mathématique de la variable X.
Partie C
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de milli- mètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,5.
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production. a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−^3 près. b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une recti- fication? 2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On sup- pose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise. a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés? b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé?
EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
, on consi- dère les points — A d’affixe a , a ∈ R — B d’affixe b + i, b ∈ R — C image de B dans la rotation de centre A et d’angle
π 3
a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe
O ;
v
b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.
Partie B
1. On considère la suite ( un ) définie, pour tout entier naturel n , par un = bn − an. a. Montrer que la suite ( un ) est géométrique. En préciser la raison. b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n. c. Déterminer la limite de ( un ). Interpréter géométriquement ce résultat. 2. a. Démontrer que la suite ( an ) est croissante (on pourra utiliser le signe de un ). b. Étudier les variations de la suite ( bn ). 3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites ( an ) et ( bn )?
Partie C
1. On considère la suite ( vn ) définie, pour tout entier naturel n , par
vn = 3 an + 4 bn. Montrer que la suite ( vn ) est constante.
2. Déterminer la limite des suites ( an ) et ( bn ). ANNEXE 1
ANNEXE 2
D I C^ B
H
J
E O A
ANNEXE 3
A (^0) b b
A 1
(^) b
B 0
b
B 1
u (^0 2 4 6 8 10 )
