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[ Baccalauréat S Asie juin 2006 \
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité gra-
phique : 2 cm). On rappelle que pour tout vecteur
w non nul, d’affixe z , on a : | z | = ‖
w ‖ et
arg( z ) =
u ,
w
à 2 π près.
Partie A. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si z et z ′^ sont deux nombres complexes non nuls, alors :
arg( zz ′) = arg( z ) + arg( z ′).
Soient z et z ′^ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :
arg
( (^) z z ′
= arg( z ) − arg( z ′)
Partie B
On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z , distinct de A, associe le point M ′^ d’affixe z ′^ telle que :
z ′^ =
i z + 3 z + i
1. Étude de quelques cas particuliers. a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin. b. On note C le point d’affixe c = − 2 +i. Démontrer que le point C′, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses. 2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg
z ′
M A ,
M B
π 2 à 2 π près.
3. Étude de deux ensembles de points. a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′^ soit un nombre complexe imaginaire pur. b. Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M ′^?
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer-
cice, l’espace est rapporté au repère orthonormal
A ;
AB ;
AD ;
AE
On note I le point de coordonnées
1. Placer le point I sur la figure. 2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
3. On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC). a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées : i. Il existe un réel k tel que
AR = k
AC.
ii.
IR ·
AC = 0.
b. Calculer les coordonnées du point R,
c. En déduire que la distance IR s’exprime par IR =
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4. Démontrer que le vecteur
n de coordonnées (3 ; −3 ; 2) est normal au plan (ACI). En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).
5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est
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EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Étant donné un entier naturel n > 2, on se propose d’étudier l’existence de trois
entiers naturels x , y et z tels que x^2 + y^2 + z^2 ≡ 2 n^ − 1 modulo 2 n^.
Partie A : Étude de deux cas particuliers
1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente. 2. Dans cette question, on suppose n = 3. a. Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m^2 par 8.
r 0 1 2 3 4 5 6 7 R
b. Peut-on trouver trois entiers naturels x , y et z tels que x^2 + y^2 + z^2 ≡ 7 modulo 8?
Partie B Étude du cas général où n > 3
Supposons qu’il existe trois entiers naturels x , y et z tels que x^2 + y^2 + z^2 ≡ 2 n^ − 1 modulo 2 n^.
1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x , y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs. 2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2 q , y = 2 r , z = 2 s + 1 où q , r , s sont des entiers naturels. a. Montrer que x^2 + y^2 + z^2 ≡ 1 modulo 4. b. En déduire une contradiction. 3. On suppose que x , y , z sont impairs. a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k^2 + k est divisible par 2. b. En déduire que x^2 + y^2 + z^2 ≡ 3 modulo 8. c. Conclure.
Partie C
1. On considère la suite d’intégrales ( In ) définie par I 0 =
− 2
e− x^ d x et pour tout
entier naturel n > 1 par : In =
− 2
xn^ e− x^ d x.
a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I 0. b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :
In + 1 = (−2) n +^1 e^2 + ( n + 1) In.
c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I 1 et I 2.
2. Le graphique ci-dessous représente une courbe C k qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.
a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déter- miner la valeur du nombre réel k correspondant. b. Soit S l’aire de la partie hachu- rée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I 1 et I 0 et en dé- duire sa valeur exacte.
− 4 − 3 − 2 − 1 O^1 2 3
x
y
ANNEXE
Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
D
A B
C
H
E F
G
