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Devoir 2021
PCSI DM n
◦ 5
Corrig´e du devoir `a la maison
Exercice 1. Approximation du nombre d’or.
On appelle nombre d’or et on note φ la solution positive r´eelle de l’´equation d’inconnue r´eelle
x :
x
2 − x − 1 = 0.
En particulier, on a φ =
1 + φ.
- Justifier, sans calculatrice, que 1 < φ < 2.
La fonction h : x 7 → x
2 − x − 1 est strictement d´ecroissante sur
]
1 2
]
et strictement
croissante sur
[
1 2
[
. Puisque h(0) = −1, h(1) = −1 et h(2) = 1, elle ne s’annule
qu’une seule fois dans R+, en un point de l’intervalle ]1, 2[.
- On consid`ere la suite (un) d´efinie sur N
∗ par :
u 1 =
1 , u 2 =
1 , u 3 =
et ainsi de suite,
un =
avec n radicaux.
Exprimer, pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 1, un+1 en fonction de un.
On a tout simplement pour tout n ∈ N
∗ :
un+1 =
1 + un.
- Montrer que, pour tout n ≥ 1,
1 ≤ un ≤ φ.
On prouve ceci par r´ecurrence. Pour n = 1, u 1 = 1 donc la propri´et´e est vraie.
Supposons maintenant que la propri´et´e est vraie au rang n, c’est `a dire que 1 ≤ un ≤ φ.
On en d´eduit par croissance de la fonction x 7 →
1 + x :
√ 1 + 0 ≤
1 + un ≤
1 + φ,
1 ≤ un+1 ≤ φ.
Ainsi, la propri´et´e est h´er´editaire donc vraie pour tout n ∈ N
∗ .
- Montrer que la suite (un) est croissante.
Soit n ∈ N
∗
. On veut prouver que un+1 ≥ un, i.e.
1 + un ≥ un. Puisque les deux
nombres sont positifs, cela revient `a prouver que :
1 + un ≥ u
2 n,
0 ≥ u
2 n −^ un^ −^1 ,
0 ≥ h(un).
Ceci est vrai car la croissance de h sur l’intervalle [1, φ] et le fait que un ∈ [1, φ] nous
garantit que :
h(1) ≤ h(un) ≤ h(φ),
− 1 ≤ h(un) ≤ 0.
- D´emontrer que (un) converge vers φ.
Indication : on pourra utiliser le fait que si un −→ n→+∞
l ∈ R, on a aussi un+1 −→ n→+∞
l.
(un) converge vers l ∈ R car c’est une suite croissante et major´ee d’apr`es les deux
questions pr´ec´edentes. Par passage des in´egalit´es larges `a la limite, on a 1 ≤ l ≤ φ.
Suivant l’indication, on a aussi un+1 −→ n→∞
l, or un+1 =
1 + un −→ n→∞
1 + l. Par unicit´e
de la limite, on en d´eduit que l =
1 + l. φ est le seul nombre positif qui v´erifie ceci
donc un −→ n→∞
φ.
- Montrer que, pour tout entier n ≥ 1,
|un+1 − φ| ≤
|un − φ|.
On calcule pour n ∈ N :
|un+1 − φ| =
1 + un −
1 + φ
|un+1 − φ| =
1 + un −
1 + φ
1 + un +
1 + φ
1 + un +
1 + φ
|un+1 − φ| =
un − φ (√ 1 + un +
1 + φ
|un+1 − φ| ≤
|un − φ|
- En d´eduire que, pour tout n ≥ 1,
|un − φ| ≤
2 n−^1
On prouve enfin ceci par r´ecurrence. Pour n = 1, ceci d´ecoule du fait que u 1 = 1 et
φ ∈ [1, 2].
Supposons maintenant que c’est vrai pour n ∈ N
∗
. On d´eduit de la question pr´ec´edente :
|un+1 − φ| ≤
|un − φ| ≤
n− 1
n
La propri´et´e est h´er´editaire donc vraie pour tout n ∈ N
∗ .
Exercice 2. Th´eor`eme de Rolle
R d´esigne l’ensemble des nombres r´eels et I est un intervalle de R non vide et non r´eduit `a un
point.
- Le th´eor`eme de Rolle affirme que si une fonction f continue sur un intervalle [a; b] et
d´erivable `a l’int´erieur ]a; b[ de cet intervalle v´erifie f (a) = f (b), alors ∃c ∈ ]a; b[ tel que
f
′ (c) = 0.
- Soit h une application de I vers R, d´erivable sur I, et p un entier naturel, p ≥ 2. On
suppose que h s’annule p fois sur I, notons x 1 < x 2 < ... < xp ces p valeurs o`u h s’annule.
Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, on peut appliquer le th´eor`eme de Rolle sur l’intervalle [xi; xi+1] et
l’on en d´eduit qu’il existe yi ∈ ]xi; xi+1[ tel que h
′ (yi) = 0. Ceci nous donne p − 1 valeurs
distinctes pour lesquelles h
′ s’annule.
