ECE2 Année scolaire 2021-2022
Lycée Marcelin Berthelot Mathématiques
Devoir maison n°5
À rendre pour le 4/01
Exercice 1
Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d’affirmer que :
• s’il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 2
3.
• s’il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1
2.
• s’il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1
2.
• s’il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1
3.
Pour tout entier naturel nnon nul, on note Anl’événement : le joueur gagne la nième partie.
De plus, pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2, on pose :
En=An−1∩An, Fn=An−1∩An, Gn=An−1∩An, Hn=An−1∩An
1. On admet que (En,Fn, Gn,Hn)est un système complet d’événements.
(a) Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que, pour tout entier naturel nsupérieur
ou égal à 2, on a : P (En+1)=2
3P(En)+1
2P(Fn).
(b) Exprimer de la même façon (aucune explication n’est exigée) les probabilités P(Fn+1), P (Gn+1)et
P(Hn+1)en fonction de P (En), P(Fn), P (Gn)et P(Hn).
(c) Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2, on pose : Un=
P(En)
P(Fn)
P(Gn)
P(Hn)
Vérifier que Un+1=MUn,
où M =
2/3 1/2 0 0
0 0 1/2 1/3
1/3 1/2 0 0
0 0 1/2 2/3
2. (a) Soient P =
1 1 3 3
−2−1−1 2
2−112
−1 1 −3 3
et Q =
−1−3 3 1
2−3−3 2
2 1 −1−2
1111
Calculer PQ. En déduire que P est in-
versible et donner son inverse.
(b) On note C1, C2, C3et C4les colonnes de P. Calculer MC1, MC2, MC3et MC4, puis en déduire que
−1
3,1
6,1
2et 1 sont les valeurs propres de M.
(c) Justifier que M =PDP−1, où D est une matrice diagonale que l’on déterminera.
Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.
3. (a) Montrer par récurrence que : ∀n∈N, Mn=PDnP−1.
(b) Montrer, également par récurrence, que : ∀nÊ2, Un=Mn−2U2.
(c) Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2, donner la première colonne de Mn, puis en déduire
P(En), P (Fn), P(Gn)et P (Hn).
(d) Montrer que l’on a :
lim
n→+∞P(En)=3
10 , lim
n→+∞P(Fn)=2
10 , lim
n→+∞P(Gn)=2
10 , lim
n→+∞P(Hn)=3
10
