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BCPST
Corrigé du devoir maison n° 5
Matrices et systèmes linéaires
Exercice I.
- On calcule les premières puissances de la matrice A : A^2 =
(^) et A^3 =
On véri e alors aisément que A^3 − 2 A^2 − 3 A = O 3. Ce qui implique A^3 = 2A^2 + 3A.
- À partir de la relation de la question précédente, on factorise par A à gauche : A (A^2 − 2 A − 3 I 3 ) = O 3. Supposons A inversible. Il est donc possible de multiplier cette relation par A−^1 à gauche. Après simpli cation, on obtient A^2 − 2 A − 3 I 3 = O 3. Or,
A^2 − 2 A − 3 I 3 =
6 = O 3.
On arrive donc à une contradiction. Ainsi, la matrice A n'est pas inversible.
- On raisonne ici par récurrence. Pour tout n ∈ N∗, on pose Hn : il existe deux réels, notés un et vn, tels que An^ = unA^2 + vnA. L'initialisation est très simple pour les rangs 1 , 2 et 3 (même s'il n'est pas utile d'en faire autant pour cette étape) :
A^1 = 0A^2 + 1A, donc u 1 = 0 et v 1 = 1; A^2 = 1A^2 + 0A, donc u 2 = 1 et v 2 = 0; A^3 = 2A^2 + 3A, donc u 3 = 2 et v 3 = 3.
Les propositions H 1 , H 2 et H 3 sont donc vraies. Soit n ∈ N∗^ xé. On suppose Hn véri ée. Calculons An+1^ :
An+1^ = AAn^ = A(unA^2 + vnA) = unA^3 + vnA^2 = un(2A^2 + 3A) + vnA^2 = (2un + vn)A^2 + (3un)
Ainsi, en posant un+1 = 2un + vn et vn+1 = 3un, on a bien prouvé l'existence des deux réels recherchés. Donc, Hn+1 est vraie. Par principe de récurrence, pour tout n ∈ N∗, il existe deux réels un et vn tels que An^ = unA^2 + vn
De plus, ces réels véri ent, pour tout entier n non nul, les relations
un+1 = 2un + vn vn+1 = 3un.
- Soit n ∈ N∗. D'après la question précédente, on a { un+2 = 2un+1 + vn+1 = 2un+1 + 3un vn+2 = 3un+1 = 3(2un + vn) = 2(3un) + 3vn = 2vn+1 + 3vn.
Ainsi, pour tout n ∈ N∗, on a bien un+2 = 2un+1 + 3un et vn+2 = 2vn+1 + 3vn.
- On reconnait ici l'expression de deux suites récurrentes linéaires d'ordre 2. Pour exprimer leur terme général, on introduit l'équation caractéristique (qui est la même pour les deux suites) : x^2 − 2 x − 3 = 0. Les solutions (évidentes) de cette équation sont 3 et − 1. Les suites (un) et (vn) vont donc pouvoir s'écrire sous la forme
∀n ∈ N∗, un = α 3 n^ + β(−1)n^ et vn = γ 3 n^ + δ(−1)n,
où α, β, γ et δ sont des constantes réelles que l'on va déterminer à l'aide des conditions initiales. { 3 α − β = 0 9 α + β = 1
α = 121 β = (^14)
et
3 γ − δ = 1 9 γ + δ = 0
γ = 121 δ = −^34
Ainsi,
∀n ∈ N∗,
un = 3
n− (^1) +(−1)n 4 vn = 3
n− (^1) −3(−1)n
En revenant à l'expression de An^ en fonction de A, A^2 , un et vn, on trouve alors, après simpli cation :
∀n ∈ N∗, An^ =
2 · 3 n−^1 (3n^ − (−1)n) (3n−^1 + (−1)n) 2 · 3 n−^1 (3n^ + (−1)n) (3n−^1 − (−1)n) 2 · 3 n−^1 (3n^ − (−1)n) (3n−^1 + (−1)n)
Exercice II.
- Calcul des puissances de A. (a) P est une matrice carrée d'ordre 2. Calculons : det P = 1 6 = 0,
donc P est inversible, d'inverse P −^1 =
(b) Le calcul de D = (P −^1 A)P donne : D =
(c) Par dé nition, D = P −^1 AP. On multiplie par P à gauche. On obtient : P D = AP. Puis, en multipliant par P −^1 à droite : A = P DP −^1. Montrons le résultat suivant par récurrence.
- Pour tout n ∈ N, on dé nit la propriété de récurrence : Pn : ”An^ = P DnP −^1 ”. • P 0 est vraie car P D^0 P −^1 = P I 2 P −^1 = P P −^1 = I 2 = D^0.
- Soit n ∈ N xé quelconque tel que Pn soit vraie. Alors :
An+1^ = AnA par dé nition de la puissance n+1 de la matrice A = (P DnP −^1 )(P DP −^1 ) d'après Pn et la question précédente = P Dn(P −^1 P )DP −^1 par associativité du produit matriciel = P DnI 2 DP −^1 = P Dn+1P −^1. Donc Pn+1 est vraie.
- Ainsi, d'après le principe de récurrence, pour tout n ∈ N, An^ = P DnP −^1.
(d) La matrice D est une matrice diagonale. Donc ∀n ∈ N, Dn^ =
0 2 n
- Soit B =
a b c
(^) ∈ M 31 (R) xé.
Étudions le système suivant, d'inconnues
x y z
∈ M 31 (R) : (S) : M X = B.
(S) ⇐⇒
x + 2y − 3 z = a y + 2z = b x + (α + 2)y − 2 z = c
L 3 ←L 3 −L 1
x + 2y − 3 z = a y + 2z = b αy + z = c − a
L 3 ←L 3 −αL 2
x + 2y − 3 z = a y + 2z = b (1 − 2 α)z = c − a − αb
Le système est échelonné.
, alors il possède une ligne de compatibilité donc le système n'est pas de Cramer. Donc M n'est pas inversible.
, alors le système est de Cramer donc M est inversible. De plus,
(S) ⇐⇒
x =
(6 + 2α)a + (2 + 3α)b − 7 c 2 α − 1 y =
− 2 a − b + 2c 2 α − 1 z =
a + αb − c 2 α − 1
⇐⇒ X =
6 + 2α 2 α − 1
2 + 3α 2 α − 1
2 α − 1 − 2 2 α − 1
2 α − 1
2 α − 1 1 2 α − 1
α 2 α − 1
2 α − 1
B
On en déduit :
M −^1 =
2 α − 1
6 + 2α 2 + 3α − 7 − 2 − 1 2 1 α − 1
