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Lycée A. Daudet SUJET B
Corrigé
Devoir commun de Mathématiques (2 heures)
Ce sujet comporte 8 pages. La page n° 8 est à rendre avec la copie.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies. La calculatrice est autorisée.
Exercice 1 4 points
Un restaurant sur la plage propose trois types de menu (menu A , menu B et menu C).
Pour les clients qui le souhaitent, le restaurant propose deux lieux:
- Formule I : manger à l’intérieur du restaurant,
- Formule T : manger en terrasse.
Chaque client décide s’il mange à l’intérieur ou en terrasse.
Le gestionnaire du restaurant a constaté que sur 300 clients :
- 90 clients choisissent le menu B.
- 132 clients choisissent le menu C.
- 180 clients optent pour manger en terrasse
- 36 clients optent pour manger à l’intérieur avec le menu A.
- 18 clients optent pour manger en terrasse avec le menu B 1. a) Compléter sur le document annexe 1 , le tableau des effectifs.
Nombre de clients ayant
choisi :
Intérieur du restaurant Terrasse Total
Menu A 36 42 78
Menu B 72 18 90
Menu C 12 120 132
Total 120 180 300
b) Vérifier que 40 % des clients ayant choisi de manger à l’intérieur prennent le menu
A ou le menu C
Il y a 120 personnes qui mangent à l'intérieur. Parmi ceux-ci 48 prennent le menu A
ou C.
. Donc 40 % des clients ayant choisi de manger à l’intérieur prennent
le menu A ou le menu C
2. On interroge au hasard un client au sujet de ses choix, chaque client ayant la même
probabilité d’être choisi (les résultats seront donnés sous forme de fraction
irréductible)
a) Déterminer la probabilité de B : « Le client a choisi le menu B ».
P ( B )=
b) Déterminer la probabilité de I : « Le client mange à l’intérieur ».
P ( I )=
c) Écrire en français l’événement I ∩ B? En déterminer sa probabilité.
I ∩ B Est l'événement : " la personne choisi le menu B et mange à l'intérieur.
P ( I ∩ B )=
d) Déterminer la probabilité de G : « Le client a mangé en terrasse ou a choisi le menu
B »
P ( G )=
e) Déterminer la probabilité de H : « Le client a choisi le menu A ou B ».
P ( H )=
f ) Déterminer la probabilité de R : « Le client n’a pas choisi la formule B ».
P ( R )= 1 − P ( B )= 1 −
x
0 3 5
( x − 3 ) − 0 + +
( x − 5 ) − − 0 +
h
x
− 0 +
Ainsi S=
[
]
ce qui signifie que l'oiseau est en dessous de la surface de l'eau lorsqu'il
est à une distance comprise entre 3 et 5 mètres par rapport à l'abrupt de la falaise.
5. Après être ressorti de l’eau, à quelle distance de la falaise l’oiseau atteint-il l’altitude de
15 m? Justifier votre réponse.
On peut chercher à résoudre h
x
= 15 ce qui équivaut à x
2
− 8 x + 15 = 15 ⇔ x
2
− 8 x = 0
Par factorisation du 1er membre l'équation devient : x
x − 8
= 0 ⇔ x = 0 ou x = 8.
Ainsi , la hauteur de l'oiseau vaut 15 mètres au point d'envol (voir 1. ) ou après être ressorti de
l'eau à 8 mètres de l'abrupt de la falaise.
6. a) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole
C
h
On peut utiliser, par exemple, les points où l’oiseau est à 15 mètres au dessus du niveau de l'eau
qui sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie de la parabole de la fonction h.
Ainsi, l'axe de symétrie est la droite verticale d'équation x = 4 car c'est l'abscisse valeur milieu
de x = 0 et x = 8.
Il reste alors à calculer la valeur h ( 2 )= ( 4 − 4 )
2
ce qui donne le sommet S ( 4;− 1 ).
Remarque : D'autres méthodes sont possibles , on peut par exemple retrouver la valeur du
minimum en s'appuyant sur la forme canonique de h : h
x
x − 4
2
b) En déduire le tableau de variations complet de h sur l’intervalle [0 ;8].
Comme le coefficient du x
2
vaut
, on justifie que
h a bien une parabole orientée comme
celle de la fonction carrée ; les coordonnées du sommet établie avant nous permettent d'indiquer
les valeurs du tableau de variations.
x 0 4 8
h ( x )
c) Quelle est alors la profondeur maximale atteinte par l’oiseau?
Cette profondeur correspond à l’extremum de h qui vaut -1 (mètre).
Exercice 3 3 points
Aucune justification n'est demandée. Pour les questions 1) et 2), une seule réponse est correcte...laquelle?
Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre qui correspond à la bonne affirmation.
1. Voici le tableau de variations d’une fonction f. Alors :
a) f ( 3 )= 0
Vrai , c'est la seule valeur indiquée dans le tableau.
b)
f ( 4 )< f ( 5 )
Faux : f est strictement décroissante et 4 < 5 donc
f
f
c)
f ( 4 )⩾ 0
Faux : 4 > 3 et f strictement décroissante donne f
< f
et comme f
= 0 , il
vient f
2. g est une fonction telle que
g ( – 2 )= 1 , g ( 0 )= – 3 et
g ( 5 )= 4 .
De plus, g est décroissante sur [ – 2 ; 0 ] et croissante sur [ 0 ; 5 ].
Alors, pour tout réel x de [ – 2 ; 5 ] :
On peut construire le tableau de variations :
a)
g ( x )⩾− 2
Faux : Contre exemple : si x = 0
alors g
x
b)
− 3 ⩽ g ( x )⩽ 4
Vrai , d'après le tableau , le minimum vaut -3 et la maximum vaut 4.
c) 0 ⩽ g ( x )⩽ 5
Faux : car le minimum vaut -3 et non pas 0....
Exercice 4 7 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ; I , J ).
On donne les points
A ( 1 ; 2 )
B ( 3 ; 3 )
C ( − 1 ; − 1 )
D (− 5 ;− 3 )
F ( 2 ; 5 )
et
K ( − 2 ; y ) où
y est un nombre réel que l’on déterminera par la suite.
Un repère est donné en annexe 2 , sur lequel on réalisera au fur et à mesure de l’exercice, les
constructions demandées.
1. Placer les points A , B ,C , D. 2. a) Démontrer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles.
AB
) et
DC
) ; les produits en croix 2 × 2 = 4 et 1 × 4 = 4 sont égaux ce qui
prouve la proportionnalité des coordonnées et donc la colinéarité des vecteurs
AB et
DC
. Ainsi, les droites
AB
et
CD
sont bien parallèles.
Remarque : Il est aussi possible de prouver que les deux droites ont le même coefficient
directeur!
b) Le quadrilatère ABCD est il un parallélogramme? Justifier par le calcul.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si
AB
DC
, or les coordonnées de ces
deux vecteurs ne sont pas égales et donc
AB≠
DC :
ABCD
n'est donc pas un
parallélogramme...
3. Construire le point T tel que
CT =
CD
Déterminer par le calcul les coordonnées du point T.
D'une part :
CT
x
T
; y
T
donc
CT
x
T
T
D'autre part ,
CD
a pour coordonnées :
×(− 4 ) ;
×(− 2 )
donc
Puisque
CT =
CD
cela équivaut à l'égalité des coordonnées :
x
T
y
T
x
T
y
T
et donc
T
4. Calculer y de sorte que les points A ,C et K soient alignés. Placer le point K.
Les points A ,C et K sont alignés si et seulement si
AC
et
CK
sont colinéaires.
Or
AC (− 2 ;− 3 ) et
CK (− 1 ; y + 1 ) seront colinéaires si et seulement si les produits en
croix suivant :
− 2 ×( y + 1 ) et
− 3 ×(− 1 )
sont égaux , c'est dire que
− 2 ×( y + 1 )= 3
Cette équation se résout :
− 2 y − 2 = 3 ⇔ y =−
Finalement :
K
5. Soit R le milieu de [ AD ] et E le symétrique de B par rapport à R.
a) Calculer les coordonnées des points R et de E , puis les placer.
x
R
x
A
D
=− 2 ; y
R
y
A
D
=−0,5 donc
R (− 2 ;−0,5)
Comme R est le milieu de
[
BE
]
nous avons également :
x
R
x
B
E
3 + x
E
et donc
− 4 = 3 + x
E
⇔ x
E
Puis y
R
y
B
E
3 + y
E
⇔− 1 = 3 + y
E
⇔− 4 = y
E
Ainsi E (− 7 ;− 4 )
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE? Justifier votre réponse.
Puisque R est milieu des diagonales
[
AD
]
et
[
BE
]
, le quadrilatère est donc un
parallélogramme.
6. On considère l’algorithme suivant :
a) Qu’affiche l’algorithme si on saisit les
coordonnées des points A ,C et F de l’exercice?
Il affiche NON
b) Que permet de faire cet algorithme? Justifier.
Il permet de savoir si les coefficients directeurs des
droites
( AC)
et
(CF )
sont égaux ou non ;
s'ils le sont , cela revient donc à dire que ces droites
sont parallèles et confondues et donc si l'algorithme
affiche OUI , c'est que les points A,C et F sont alignés.
(ce qui n'est pas le cas dans le 6.a) )
