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D REPUBLIQUE TUNISIENNE Ÿ INSAT* 4 Ministère de l'Enseisnement Supérieur et de la Recherche Scientifique | sal) Université de Carthage —/7 Institut National des Sciences Appliquées et de Technologie Devoir Surveillé NW Exameni) 7 Session principale D | Session de contrôle Matière : Algèbre II Semestre: II Enseignantes : N.Hmida \ C.Chettaowi Date: 14-03- 2025 | Filière : MPI Durée: 1h30 | Barème : Documents et calculatrice: autorisés D | Nombre de pages : 2 non autorisés D | e Documents et calculatrice non autorisés. e La clarté et la précision des raisonnements entreront dans l'appréciation des copies. Exercice 1: AT 9 É Soient À une matrice carrée de taille n à coefficients réels et 1 la matrice unité de taille n. On suppose qu'il existe à ct B deux réels distincts tels que (A — xl}{A — fi) — On pose J= A BI) et K = px æi). d 1. (a) Vérifier que h A1 {a+ BA + ai K}=JK= 0: J+K=L. | 9} la {b) Montrer que J? = J; K2=K. Ÿ w (c) Montrer que AP = æ] + BPK pour tout p > 1. | | 2. (a) Montrer que si aB 0. alors À est inversible ct A-t= l; + 1Kk | & À À er que s . alors À es sible = Ji \ a (b) En déduire que AP = œ?] + BPK pour tout p € Z. 3. Application : Soit 0 —1 1 A=T 1 O0 —1 1 —1 0 AE Déterminer deux réels æ < B tels que {A — xl}{A — BI) = 0. ne “Le Déterminer les matrices J et K correspondantes. 2, c) En déduire A5, A7! et AT. ‘ N AA ) off (d) Retrouver A7! en utilisant la méthode de pivot de Gauss. PAGE 1/2 CamScanner “ Exercice 2: à y Soit E = £(R, R) l'espace vectoriel des applications linéaires de R dans R. Soient a, b deux réels et soit E(a) ={fe E/ÿx € R,f{x) = f(2a — x)} ct E(a,b)—{f€E/VxEe R, f{x) = 2b — f{2a — x}} 1. Pour quelles valeurs de a et b. E{a) et E{a, b} sont-ils des sons-espaces vectoriels de E. 2. Soit f € E. on pose g{x) = 310) — f{2a — x}] pour tout x € R. (a) Montrer que g € E(a, 0). {b) Montrer que E(a) et E{a, 0) sont supplémentaires dans E. Exercice 3: 6 / 4 Ç Soit E l'espace vectoriel réel E ={f: {0,1} -3R/f est continuc }. et soit F={f:10,1} > R/f est dérivable. de dérivée continue et F(0) — 0} « ji. Montrer que F est sous-espace vectoricl de E . 2. Soit d:E — E définie par : ælrt = ['sit)at, pour tout x € 0,1 S (a) Montrer que est une application linéaire de E dans E. P(b) Déterminer ker(}. D Q Déterminer Im{) et en déduire que induit un isomerphisme de E vers F. 3. Soit # : E — R définie par : 1 v(f) -| f(u)du o (a) Montrer que 1 est une application linéaire. (b) Montrer que 1 est non injective. Xe w est-clle surjective? LT CamScanner NY y] en a dre J-1 -K à d'A JE jé fs ke Like Es PPT Uk k | e)_ Recent : \eiiorg pour p=t pee LC E (4-2) qe PT pk et Suppsos g—< AR a T4 À nt 15e pk CE OP CICR EF} La ef. per et cat È ss AG pre at Nvate | Ç Ë Cd. x fi "14, AK [cs CamScanner 2)a) agp À “us ) D AE (ep = PE 40 ES L 1 À (& cp Al | = co EN ue À star SP - il Cat) - Lt pk) LL: = ptr* sh ein efdieu 1 al È) no = a PP A Re TACEA -(Lf: 5) he "a RE PTS CamScanner Suapel 2 D | Mae s) = | EC : { Ft Ê … ÿ 4. 2" o - € = pe? \ s B=-1L eu à © > “ P & = d as”! av a = on choisit donpl GnJ-(r) L} = pt) = (a-a2t] Es LEE (1-2 ke (1«t). L (as | p* A1 VV Lt CE LE E if | a) Ji D\ 1 +1 U il 3 35 mn à \ CA f à à LA + \ \ | 4 À Ne À AK 5 | 1 -1| (tnt) À 1x ue HA | " +7 A4 % en «a à sd dent À L J ha Lrp £ " y Il _| (/ .: Lk 8 3 31 ,/1%3 ; = | +5$ 2 1 \pif | | - 8 à DIN 3 7173 I Les U [I 8 > 3 3 33 = “4 1 A A À cs des) 21 14 2 L ‘il 1 ga A (Dar ss geïm g ConC lg Fr => at LA DEDE et NEA —Y Le Lam de E —f LÆT CamScanner POTTER mpedret cn R Ten) mue d (4) “ LT deg] À EE A: (b) on pose ê del gui 24 ei Léo du] ç6 di [ver Qal ( sens dE ZD À tou) O wet-Y tn) °\ ona Im b 6 ÎR 4 ajasil ER on a s- fra du = KI jo =A Comte Lits te vont ls si CN axé D (Ce (ui Imb-@s es tan tx CamScanner 
