Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1993 \
EXER CIC E 1 4 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère³O, −→
u,−→
v´orthonormal direct, on consi-
dère les points A, B et Md’affixes respectives 2, −i et z, avec z6=−i et z6= 2.
1. Donner une interprétation géométrique de arg z−2
z+i.
2. Déterminer et construire l’ensemble E des points Md’affixe zpour lesquels
arg z−2
z+i=π
4[2π].
On note C le centre du cercle (C) contenant E.
a. Montrer que ³−−→
CB , −−→
CA ´=π
2[2π].
b. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre B qui
transforme A en C.
c. En déduire la forme algébrique de l’affixe de C.
EXER CIC E 2 4 points
Soit, dans le plan orienté, un triangle équilatéral direct ABC, c’est-à-dire tel que
³−−→
AB , −−→
AC ´=π
3[2π]. On note O son centre de gravité. On considère des points M,
N, P, respectivement sur les segments [AB], [BC] et [CA], tels que AM = BN = CP (on
suppose M 6= A et M 6= B).
1. a. Justifier qu’il existe une rotation unique rtelle que r(A) = B et r(M) = N
(on énoncera le théorème utilisé). Déterminer son angle.
b. Soit ρla rotation vectorielle associée à r.
Montrer que ρ(AB) = BC. En déduire l’image de B par ret le centre de r.
2. a. Quelles sont les images de N et de P par r?
b. Montrer que le triangle MNP est un triangle équilatéral de centre de gra-
vité O.
3. Soit les cercles Γ1,Γ2,Γ3circonscrits respectivement aux triangles APM, CPN
et BMN. Il n’est pas demandé de dessiner Γ1,Γ2et Γ3?
a. Montrer que Γ1passe par O. Quels autres résultats pourrait-on obtenir
par une démonstration analogue ?
b. Montrer que Γ1,Γ2et Γ3ont le même rayon.
PROB LÈM E 12 points
Dans tout le problème, ndésigne un entier naturel non nul. On étudie la fonction fn
définie sur Rpar
fn(x)=xex−nx .
On note Cnla courbe représentative de fndans un repère orthonormal ³O, −→
ı,−→
´.
A. Soit la fonction gndéfinie sur Rpar gn(x)=(1 +x)ex−n.
1. Calculer la dérivée de gnfaire le tableau de variation de gnet déterminer les
limites de gnaux bornes de son ensemble de définition.
