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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole groupe 2^1 juin 1992 \
EXERCICE 1 5 points
Dans le plan orienté on considère un rectangle ABCD tel que :
AB = 1, BC = 2 et
AB ,
AD
π 2 (modulo2 π ).
On appelle M le milieu du segment [BC].
1. Soit s la similitude directe telle que : s (A) = M et s (B) = D. Déterminer le rapport et l’angle de s. 2. On se propose dans cette question de préciser la position du centre O de la similitude s. a. Les droites (AB) et (DM) se coupent en I. Démontrer que les points A, O, M et I sont cocycliques. En déduire que : BM = BO = BA. b. Démontrer que DM = DO. c. En déduire que O est le symétrique de M par rapport à la droite (BD). 3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct tel que les affixes des points A, B et D sont respectivement 0, 1 et 2i. a. Déterminer l’expression complexe de s et l’affixe de O. b. Vérifier que O est bien le symétrique de M par rapport à la droite (BD) en montrant que BM = BO et que les droites (OM) et (BD) sont orthogonales.
EXERCICE 2 4 points
On considère dans le plan P un triangle AFB rectangle en A et on note θ la mesure en radians de l’angle B avec :
0 < θ <
π 2
Soit M un point quelconque du plan, On trace par M les parallèles aux droites (AF) et (FB) qui rencontrent la droite (AB) respectivement en H et M′. On appelle (Γ) l’en- semble des points M du plan tels que MM′^ = MF.
1. Montrer que M appartient à (Γ) si et seulement si :
MF MH
sin θ
En déduire que (Γ) est une conique dont on précisera la nature.
2. Dans cette question on prend FA = 6 avec le centimètre pour unité et θ =
π 6
Après avoir construit le triangle AFB, représenter les sommets, les foyers et le centre de la conique (Γ). Achever ensuite la construction de (Γ).
- Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
PROBLÈME 11 points
n étant un entier naturel non nul , on se propose d’étudier la famille des fonctions fn , définies sur [0 ; +∞[ par : { fn ( x ) = xn^ (1 − ln x ) si x > 0 et fn (0) = 0.
On désigne par (C n ) la représentation graphique de fn dans le plan rapporté à un
repère orthonormal
O,
ı ,
(unité : 4 cm).
I. Étude générale des fonctions fn , ( n ∈ N∗ )
1. a. Montrer que toute fonction fn est continue en 0. b. Discuter selon les valeurs de n la dérivabilité de fn en 0. Interpréter gra- phiquement ce résultat. c. Déterminer la limite de fn en +∞. 2. a. Étudier suivant les valeurs de x le signe de l’expression :
fn + 1 ( x ) − fn ( x )
et préciser les valeurs de x pour lesquelles elle s’annule. b. En déduire la position relative des courbes (C n ) et (C n + 1 ) et montrer que toutes les courbes (C n ) passent par trois points fixes dont on précisera les coordonnées.
3. a. Étudier les variations de fn et dresser son tableau de variations.
b. Pour n > 1, déterminer en fonction de n , une équation de la tangente à
(C n ) en chacun des points d’abscisses 1 et e. c. En utilisant les résultats précédents, construire sur un même graphique les courbes (C 1 ) , (C 2 ) et (C n ).
4. Soit a un réel positif différent de 0 et de e. On considère les deux points M ∈ (C n ) et M ′^ ∈ (C n + 1 ) de même abscisse a.
a.
On trace : la droite (O M ′), la droite passant par M et parallèle à l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 1. Montrer que ces droites sont concourantes. b. Construire, en expliquant la construction, le point M ′^ à partir du point M.
II. Étude de la suite des intégrales
∫e
1
fn ( t ) d t****.
Pour tout n entier naturel non nul on pose :
In =
∫e
1
fn ( t ) d t.
1. Sans calculer cette intégrale étudier le sens des variations de la suite ( In ). 2. En utilisant une intégration par parties, déterminer en fonction de n l’expres- sion de In. En déduire lim n →+∞ In.
III. Étude des solutions des équations fn ( x ) = 1
Dans cette partie n est un entier supérieur ou égal à 2.
Métropole groupe 2 2 juin 1993
