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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1992 \
EXERCICE 1 4 points
Dans le plan orienté P on considère la figure ci-dessous. Les triangles ABC et ACD sont deux triangles équilatéraux directs
tels que
BC ,
BA
π 3
et
DA ,
DC
π 3
Les points O et I sont les milieux respectifs de [AC] et [AB] et les points L et E sont tels que
OC =
CL =
LE.
b b
b
b
b
b b
b
O
A
B
C
D
L E
I
Soit r la rotation de centre A dont l’angle a pour mesure π 3 , et t la translation de
vecteur
OA.
On note r ′^ = r ◦ t (composée de t et de r ).
1. a. Quelle est l’image de O par r ′^? b. Donner une mesure de l’angle
IO ,
IA
c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l’application r ′.
2. M est un point quelconque du plan, on note N = r ( M ), J le milieu du segment [E M ] et K le milieu du segment [ N D]. a. Soit P l’antécédent de M par t. Quel est le milieu du segment [L P ]? b. Montrer, lorsque I, J et K sont distincts, que le triangle I J K est équilaté- ral. On pourra utiliser r ′(L) et r ′( P ).
EXERCICE 2 4 points
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
On désigne par m un nombre réel et par ( Em ) l’ensemble des points M du plan (P), de coordonnées ( x ; y ) vérifiant l’équation :
( m − 1) x^2 + 3 m y^2 + 2( m − 14) x + m + 3 = 0.
1. Déterminer ( Em ) pour les valeurs particulières m = 0 et m = 1. 2. Pour quelle valeur de m l’ensemble ( Em ) est-il un cercle? Préciser dans ce cas son centre et son rayon. 3. Dans cette question m est un réel non nul et différent de 1. Soit O′^ le point de coordonnées (−1 ; 0). On notera ( X ; Y ) les coordonnées de M dans le repère
O,
ı ,
Terminale C A. P. M. E. P.
a. Montrer que l’équation de ( Em ) dans ce repère est :
( m − 1) X^2 + 3 mY^2 + 4 = 0.
b. En déduire en fonction de m la nature de ( Em ).
PROBLÈME 12 points
Partie A
L’objet de cette partie est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : ln x
f ( x ) =
ln x x^2
On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère
orthonormal
O,
ı ,
dont l’unité vaut 2 cm.
1. a. Étudier sur ]0 ; +∞[ le sens de variation de la fonction g définie par
g ( x ) = x^3 − 2ln x + 1.
b. En déduire que g ( x ) > 0 pour tout x de ]0 ; +∞[.
2. a. Calculer f ′( x ), et démontrer que f ′( x ) et g ( x ) sont de même signe. b. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, puis construire son tableau de variations. c. Démontrer que la droite D d’équation y = x −1 est asymptote à la courbe C. Étudier la position de D par rapport à C. d. Écrire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 1. 3. Placer les droites T et D et construire la courbe C.
Partie B
Soit λ un réel supérieur ou égal à 1.
1. On appelle A ( λ ) l’aire de la partie du plan comprise entre C , D et les droites d’équations x = 1 et x = λ. Calculer A ( λ ). (On pourra utiliser une intégration par parties). 2. Déterminer la limite L de A ( λ ) quand λ tend vers +∞. 3. Montrer que l’équation :
A ( λ ) =
L
est équivalente à l’équation (E) définie par 2ln λ − λ + 2 = 0.
4. Prouver que l’équation (E) admet une unique solution a sur [1 ; +∞[. Vérifier que 5 < a < 6.
Partie C
Cette partie va permettre de déterminer une approximation de a. Pour cela, on introduit la suite ( un ) définie par u 0 = 5 et pour tout n de N, un + 1 = ϕ ( un ), où ϕ est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ϕ ( x ) = 2ln x + 2.
1. a. Démontrer que pour tout n de N, un appartient à [5 ; 6]. b. Montrer que la suite ( un ) est croissante.
Pondichéry 2 avril 1992
