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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Métropole groupe 4^1 juin 1992 \
EXERCICE 1 4 points
Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : (−−→ AB ,
AC
π 3 [2 π ] et AB < AC.
On note (C ) le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point du segment [AC] tel que AB = CP. La droite (OE) coupe (C ) en I et J, tels que J et A soient sur le même arc BC du cercle (C ).
1. a. Faire une figure. b. Quel est l’ensemble des points M du plan tels que (−−→ MB ,
MC
π 3
[2 π ]?
c. Quel est l’ensemble des points M du plan tels que (−−→ MB ,
MC
π 3 [2 π ] et M B < M C?
2. a. Justifier qu’il existe une unique rotation R telle que R(A) = P et R(B) = C. Déterminer son angle. b. Démontrer que son centre est un point de (C ) que l’on précisera. c. Quelle est la nature du triangle JAP? 3. Déterminer l’image de B par la composée R ◦ SB où SB désigne la symétrie de centre B. Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette composée.
EXERCICE 2 4 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
1. On considère les points A de coordonnées (−1 ; 0) et I de coordonnées (4 ; 0). Soit (E) l’ellipse de centre I, dont un sommet est A et un foyer est O.
a. Déterminer les trois autres sommets de (E). b. Calculer l’excentricité de (E), et donner une équation de sa directrice as- sociée au foyer O dans le repère
O,
u ,
v
c. Former une équation de (E) dans le repère
I ;
u ,
v
d’origine le centre I de l’ellipse. d. Tracer (E).
2. Dans cette question, à tout réel θ de l’intervalle [0 ; π ] on associe l’équation :
z^2 − 2(4 + 5cos θ ) z + (4cos θ + 5)^2 = 0.
- Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
a. Résoudre l’équation dans C. b. Lorsque θ appartient à l’intervalle ]0 ; π [, on note z 1 la solution de l’équa- tion dont la partie imaginaire est strictement positive, et z 2 l’autre solu- tion. Soit M 1 le point d’affixe z 1 et M 2 le point d’affixe z 2. Déterminer les coordonnées de M 1 en fonction de θ dans le repère
O,
u ,
v
puis dans le repère
I ;
u ,
v
En déduire l’ensemble des points M 1 puis celui des points M 2 lorsque θ varie dans l’intervalle ]0 ; π [.
PROBLÈME 4 points
Les parties B et C sont indépendantes. Pour les représentations graphiques de ce problème l’unité choisie est 2 cm ; et il convient de placer l’axe des ordonnées suffisamment à gauche de la feuille afin de réserver 16cm pour le demi-axe des abscisses positives.
Partie A
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
f ( x ) = x (1 − ln x ) si x > 0, et f (0) = 0.
On appelle (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère or-
thonormé
O,
ı ,
1. Justifier que f est continue sur [0 ; +∞[. 2. Déterminer la limite de f ( x ) quand x tend vers 0. En déduire que f n’est pas dérivable en 0. 3. a. Étudier la limite de
f ( x ) x
quand x tend vers +∞.
b. Étudier les variations de f. Faire un tableau de variations.
4. a. Écrire une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse e. b. Tracer (T) et (C ). Préciser la tangente à (C ) au point O.
Partie B
1. On désigne par α et x des nombres réels strictement positifs ; calculer l’inté- grale
∫ x
α
f ( t ) d t , à l’aide d’une intégration par parties.
2. Soit α un nombre réel strictement positif et A ( α ) l’aire en cm^2 de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et les droites d’équations x = α et x = e. a. Montrer que A ( α ) = 4
∫ x
α
f ( t ) d t.
(On distinguera les deux cas α 6 e et α > e.
Calculer A ( α ) en fonction de α. b. Calculer la limite de A ( α ) quand α tend vers 0.
c. Déterminer α tel que : α > e et A ( α ) = e^2.
3. Soit x un réel de [0 ; +∞[. Prouver l’existence de l’intégrale :
∫ x
0
f ( t ) d t.
Métropole groupe 4 2 juin 1992
