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[ Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. L’espace est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
k
Soit (P) le plan dont une équation est : 2 x + y − 3 z + 1 = 0. Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7). Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0 ; 2 ; 1) ».
2. On considère l’équation différentielle (E) : y ′^ = 2 − 2 y. On appelle u la solution de (E) sur R vérifiant u (0) = 0. Proposition 2 : « On a u
ln 2 2
3. On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n , un + 1 =
7 un.
Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n , on a 0 6 un 6 7 ».
EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité graphique : 4 cm). Soit A le point d’affixe z A = i et B le point d’affixe z B = e−i^ 56 π .
1. Soit r la rotation de centre O et d’angle
2 π 3
. On appelle C l’image de B par r. a. Déterminer une écriture complexe de r. b. Montrer que l’affixe de C est z C = e−i^
π 6 . c. Écrire z B et z C sous forme algébrique. d. Placer les points A, B et C.
2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coef- ficients 2, −1 et 2.
a. Montrer que l’affixe de D est z D =
p 3 2
i. Placer le point D. b. Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.
3. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h. a. Déterminer une écriture complexe de h. b. Montrer que l’affixe de E est z E =
p
- Placer le point E.
4. a. Calculer le rapport
z D − z C z E − z C
. On écrira le résultat sous forme expo- nentielle. b. En déduire la nature du triangle CDE.
EXERCICE 2 5 points Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal
O,
u ,
v
(unité graphique : 1 cm). On fera une figure que l’on complétera tout au long de cet exercice.
Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = 3 + 5i, b = − 4 + 2i et c = 1 + 4i. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M ′^ d’affixe z ′^ définie par z ′^ = (2 − 2i) z + 1.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f. 2. a. Déterminer l’affixe du point B′^ image du point B par f. b. Montrer que les droites (CB′) et (CA) sont orthogonales. 3. Soit M le point d’affixe z = x +i y , où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. Soit M ′^ l’ image de M par f. Montrer que les vecteurs
C M ′^ et
CA sont orthogonaux si et seulement si x + 3 y = 2.
4. On considère l’équation (E) : x + 3 y = 2, où x et y sont des entiers relatifs. a. Vérifier que le couple (−4 ; 2) est une solution de (E). b. Résoudre l’équation (E). c. En déduire l’ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle [−5 ; 5] et tels que les vecteurs
C M ′
et
CA soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure.
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
- s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
- s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
On appelle : E 1 l’évènement « le joueur perd la première partie » ; E 2 l’évènement « le joueur perd la deuxième partie » ;
2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f ( x ) =
x e−^
x 2 .
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal
O,
ı ,
La courbe C est représentée en annexe. a. Montrer que f est positive sur [0 ; +∞[. b. Déterminer la limite de f en +∞. En déduire une conséquence gra- phique pour C. c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.
3. On considère la fonction F définie sur [0 ; +∞[ par F ( x ) =
∫ x
0
f ( t ) d t. a. Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [0 ; +∞[. b. Montrer que F ( x ) = 1 − e−^ x 2 − x 2
e−^ x 2 . c. Calculer la limite de F en +∞ et dresser le tableau de variations de F sur [0 ; +∞[. d. Justifier l’existence d’un unique réel positif α tel que F ( α ) = 0, 5. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 10 −^2 près par excès.
4. Soit n un entier naturel non nul. On note An l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe de f et les droites d’équations x = 0 et x = n.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que An > 0, 5.
ANNEXE DE L’EXERCICE 4
C
