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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Caen septembre 1975 \
EXERCICE 1 points
Déterminer les couples d’entiers naturels, non nuls, ( a ; b ) tels que leur p.g.c.d. et leur p.p.c.m., notés respectivement d et m vérifient la relation :
2 m + 3 d = 78
EXERCICE 2 points
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x , définie par :
f ( x ) = x − Log
x
(Log désigne la fonction logarithme népérien).
1. Étudier ses variations, construire sa courbe représentative C dans un plan af- fine euclidien rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
. On étudiera la po- sition de C par rapport à son asymptote oblique ∆. 2. a. Au moyen d’une intégration par parties, calculer : ∫ α
1
Log
x
d x.
α étant un réel strictement positif. b. Déterminer l’aire A ( α ) de la partie du plan limitée par la courbe C , la droite ∆, et les droites d’équations : x = 1 et x = α , α étant un réel donné strictement positif et inférieur à 1. c. Chercher si A ( α ) admet une limite quand α tend vers 0, et calculer cette limite.
PROBLÈME points
On considère un plan vectoriel euclidien orienté( P , de base orthonormée directe →− ı ,
. Soit f et g les endomorphismes de P de matrices respectives dans la base (→− ı ,
F =
cos^2 θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin^2 θ
et G = I − F.
I étant la matrice unité : I =
et θ un nombre réel de l’intervalle
]
π 4
[
On appelle A l’ensemble des matrices αF + βG lorsque α et β décrivent R. On rap- pelle que l’ensemble M , des matrices carrées 2×2 à termes réels possède une struc- ture d’anneau unitaire non commutatif et une structure d’espace vectoriel sur le corps des réels.
1. a. Calculer F^2 , F × G , G × F , G^2.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
b. Démontrer que le produit de deux matrices de A , est une matrice de A. c. (A , +, ×) est-il un anneau unitaire? est-il un corps?
2. a. Déterminer l’ensemble D des vecteurs invariants par f et le noyau N de f. cose b. Soit
u (cos θ ; sin θ ) et
u ′^ (− sin θ ; cos θ ). Démontrer que
u ,
u ′^
est une base orthonormée directe du plan vectoriel P. Écrire la matrice de f dans cette base. Quelle est la nature de f? c. Calculer g
u
et g
u ′^
. En déduire la nature de l’endomorphisme g et écrire sa matrice dans la base
u ,
u ′^
3. On considère l’endomosphisme h = αf + βg du plan vectoriel P. a. Écrire sa matrice H dans la base
u ,
u ′^
b. Pour quelles valeurs de α et β l’endomorphisme h est-il une isométrie vectorielle? Caractériser par son angle ou par son ensemble de vecteurs invariants chacune des isométries vectorielles ainsi obtenues.
4. Soit( π un plan affine euclidien associé à P et de repère orthonormé direct O,
ı ,
. On appelle σ l’application de π dans π qui à tout point M d’af- fixe z associe le point M ′^ d’affixe z ′^ = 2(cos 2 θ + i sin 2 θ ) z , z étant le nombre complexe conjugué de z. a. Démontrer que σ est une similitude indirecte, déterminer son rapport et son centre. b. Démontrer que l’application linéaire s associée à σ a une matrice S de la forme αF + βG dans la base
ı ,
. Déterminer α et β. Démontrer que s est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une symétrie vectorielle que l’on déterminera. 5. On désigne par ϕ l’application affine de π dans π associée à l’application li- néaire h = f − 2 g et laissant le point O invariant. Soit Ω le cercle de centre O et de rayon 1 et Ω′^ son image par ϕ?
a. Écrire l’équation cartésienne de Ω′^ relativement au repère
O,
u ,
u ′^
b. En déduire la nature de Ω′, son centre, ses axes de symétrie, ses foyers, son excentricité et ses directrices.
Caen 2 septembre 1975
