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[ Baccalauréat C Besançon^1 septembre 1976 \
EXERCICE 1
Déterminer les paires { a ; b } d’entiers naturels tels que 2 m + 7 d = 111, m désignant le plus petit commun multiple, d désignant le plus grand commun diviseur de a et de b.
EXERCICE 2
f est la fonction définie par :
f :
R⋆^ → R
x 7 −→
e x x
1. Étudier les variations de cette fonction. 2. Déduire de la question précédente l’étude des variations des fonctions :
a. g : x ∈ [0 ; 2 π [, g ( x ) =
ecos^ x cos x
b. h : x ∈ R⋆ +, h ( x ) =
x Log x
(Log désigne la fonction logarithme népérien.)
PROBLÈME
Soit (P) un plan affine euclidien orienté,
O,
e 1 ,
e 2
un repère orthonormé direct de (P). Pour tout couple ( x ; y ) de nombres réels, le nombre complexe x + i y est appelé
affixe du point M de (P) de coordonnées x et y dans le repère
O,
e 1 ,
e 2
On appelle A le point d’affixe 2 et B le point d’affixe i. Soit F l’application de (P) dans (P) qui associe à tout point M d’affixe z le point M ′^ = F ( M ) d’affixe z ′^ tel que
z ′^ = 2 −
i 2
z − 2
( z désigne le nombre conjugué de z ).
Partie A
1. Déterminer le nombre réel strictement positif k et la droite (∆) passant par A tels que F soit égale à la composée commutative de l’homothétie H de centre A, de rapport k et de la symétrie orthogonale S ∆ par rapport à la droite (∆). 2. a. Quelles sont les droites globalement invariantes par F? b. Quelles sont les droites orthogonales à leurs images par F? 3. Soit ( y ′^ y ) la droite contenant le point O, de vecteur directeur
e 2. a. Quel est l’ensemble des affixes des points de ( y ′^ y ) ; en déduire l’image de ( y ′^ y ) par F. b. En utilisant les nombres complexes, démontrer qu’il existe une simili- tude directe et une seule
telle que pour tout point M de ( y ′^ y ) on ait : ∑ ( M ) = F ( M )
- Nancy - Reims et Strasbourg
Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.
Si z est l’affixe d’un point quelconque M de (P), quelle est l’affixe du point
( M )? Donner les coordonnées du centre C de la similitude
ainsi que le rapport et l’angle de
Démontrer que, pour tout point M de ( y ′^ y ), le cercle de diamètre M M ′ ( M ′^ = F ( M ) contient les points B et C.
4. Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que b < a et
(Γ) la courbe d’équation
( x − 2)^2 a^2
y^2 b^2
a. Déterminer la nature de (Γ) et ses éléments de symétrie. b. Déterminer une équation cartésienne de (Γ′) image de (Γ) par F. Quelle est la nature de (Γ′)? Préciser ses éléments de symétrie. c. Tracer (Γ) et (Γ() lorsque a = 2 et b = 1.
Partie B
On pose F^1 = F , F^2 = F ◦ F et pour tout entier naturel n non nul, on pose F n +^1 = F ◦ F n^.
1. Déterminer l’ensemble E des valeurs de l’entier naturel non nul n pour les- quelles F n^ est une homothétie. Pour tout élément n de E, déterminer le centre et le rapport de l’homothétie F n^. Montrer que, pour toute valeur n de N− E , F est la composée d’une homothétie et d’une symétrie orthogonale que l’on précisera. 2. O étant l’origine du repère, on pose O 1 = F (O) et pour tout entier naturel non nul n , on pose O n + 1 = F (O n ). Montrer que, pour tout entier naturel non nul, le point O n appartient à la réunion de deux demi-droites d’origine A. 3. Pour tout entier naturel non nul n , on appelle zn l’affixe du point O n et on pose un = zn − 2 et vn = | un |. Calculer un en fonction de n et du rapport k de l’homothétie H , montrer que vn est terme général d’une suite géométrique.
On pose σn =
∑^ n
k = 1
vk. Calculer σn et (^) n lim→+∞ σn.
Partie C
En utilisant les nombres complexes, déterminer l’ensemble H des similitudes di- rectes S permutant avec F ( S vérifie S ◦ F = F ◦ S ). Quelle est la structure de H munie de la loi notée ◦ de composition des applica- tions?
Besançon - Nancy - Reims et Strasbourg 2 septembre 1976
