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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1975 \
EXERCICE 1
Résoudre, dans C l’équation :
z^2 − 2i z − 2 = 0
On désigne par z ′^ la racine dont la partie réelle est positive et par z ′′^ l’autre racine.
Calculer
z ′ z ′′
) 2 n où n est un entier relatif.
EXERCICE 2
1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle ainsi définie { f (0) = 0 f ( x ) = x (Log x )^3
pour tout x strictement positif. a. Démontrer que la fonction f est continue au point 0. Est-elle dérivable au point 0? b. Étudier la variation de f. Étudier f aux bornes de son domaine de définition. Tracer la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
2. Soit In =
a
x (Log x ) n^ d x avec a ∈]0 ; 1[ ; n ∈ N⋆.
a. Calculer I 1. b. Calculer In en fonction de In − 1 lorsque n est au moins égal à 2. c. Calculer I 2 et I 3. Que représente | I 3 |?
PROBLÈME
Première partie
Le plan vectoriel
P étant rapporté à la base
ı ,
, on définit l’application linéaire
φ de
P dans
P par la matrice :
Mφ =
a 1 − b 1 − a b
où a et b représentent des paramètres réels quelconques.
1. Quelle relation doivent vérifier a et b pour que le noyau de ϕ soit distinct de {0}? Cette relation étant supposée vérifiée déterminer le noyau et l’image de ϕ. Démontrer que ces deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires et re- connaître φ.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
2. On suppose ici que le noyau de ϕ est égal à
. Caractériser les applications φ qui sont involutives ; démontrer que les automorphismes ainsi obtenus sont tous, sauf l’un d’eux, des symétries vectorielles que l’on notera sa et dont on déterminera, en fonction de a , la direction
∆ et l’axe
D.
On appellera σa la symétrie vectorielle d’axe
∆ et de direction
D ; déterminer pour tout vecteur
v de
P une relation entre s A
v
et σ A
v
. En déduire, dans la base
ı ,
, la matrice de σa. Déterminer sa ◦ σa et σa ◦ sa.
3. La base
ı ,
étant supposée orthonormée, l’application φ peut-elle être une isométrie positive? Une isométrie négative? Dans l’affirmative, préciser l’isométrie obtenue.
Deuxième partie
On considère le plan affine P associé au plan vectoriel
(^ P^ et rapporté au repère O,
ı ,
. On considère les deux applications f et g de P dans P , qui au point M
de coordonnées x et y , associent respectivement les points M 1 = f ( M ) et M 2 = g ( M ) dont les coordonnées sont :
pour M 1
x 1 = 2 x + 3 y + 2 y 1 − x − 2 y − 2
pour M 2
x 2 = − 2 x − 3 y y 2 = x + 2 y
1. Démontrer que f et g sont des applications affines de P ; écrire les matrices des endomorphismes associés dans
P.
2. En utilisant 1. b., déterminer entièrement f , g , f ◦ g et g ◦ f. 3. On donne trois points de P par leurs coordonnées A(4 ; −2) ; B(2 ; −2) ; C(−2 ; 0). On note E l’ensemble de points : E = {O, A, B, C} et F l’ensemble d’applica- tions (où I est l’identité de P ) :
F = { I , f , g , f ◦ g }.
Démontrer que ( F , ◦) est un groupe laissant E invariant.
Pondichéry 2 avril 1975
