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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Nice septembre 1975 \
EXERCICE 1
On considère dans C l’équation :
z^3 + (5 − 7i) z^2 − (4 + 12i) z − 20 + 4i = 0.
1. Montrer que cette équation admet une racine réelle z 1. 2. En déduire le calcul des deux autres racines z 2 et z 3.
EXERCICE 2
p et n désignent des entiers naturels. On pose :
Ip , n =
0
xp^ (1 − x ) n^ d x.
1. Calculer Ip , 0 et Ip , 1. 2. Calculer I 0, n et en déduire I 1, n.
3. Etablir pour n > 1 la relation :
Ip , n =
n p + 1 Ip +1, n + 1.
N. B. : Par convention, x^0 = (1 − x )^0 = 1.
PROBLÉÈME
Si N =
a d b c
est une matrice 2-2 à coefficients réels et λ est un nombre réel, on
définit le produit λN de N par λ à l’aide de la formule :
λN =
λa λd λb λc
On pourra admettre que l’ensemble des matrices 2-2 à coefficients réels muni de l’addition des matrices et de la multiplication externe définie ci-dessus est un espace vectoriel sur R.
On note E l’ensemble des matrice M de la forme M =
a b b c
où a , b , c appartiennent
à l’ensemble R des nombres réels.
On pose : e 1 =
, e 2 =
, e 3 =
Partie A
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des matrices 2-2 à coefficients réels et que ( e 1 , e 2 , e 3 , ) est une base de E. 2. E muni de l’addition et de la multiplication matricielles est-il un anneau?
Partie B
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
Soit t l’application de E dans R qui à la matrice M =
a b b c
fait correspondre le
nombre réel t ( M ) = a + c.
1. Montrer que t est une forme linéaire sur E, c’est-à-dire une application li- néaire de E dans R. 2. Déterminer le noyau F de t. Montrer que ( e 1 − e 3 , e 2 ) est une base de F.
Partie C
On définit l’application ϕ de E^2 dans R par ϕ ( M , M 1 ) = t ( M 1 · M ), c’est-à-dire que ϕ ( M , M 1 ) est l’image par t du produit matriciel de M 1 et M.
1. En posant M =
a b b c
et M 1 =
a 1 b 1 b 1 c 1
, calculer ϕ ( M · r M 1 ) en fonction de a , b , c , a 1 , b 1 , c 1. En déduire que ϕ est un produit scalaire. Dans toute la suite du problème, l’espace E sera muni de ce produit scalaire.
2. Démontrer que I = e 1 + e 3 est orthogonal à tout « vecteur » de F.
Partie D
1. Démontrer que pour tout M appartenant à E, on a :
M^2 = t ( M ) · M − (det M ) · I
où det M désigne le déterminant de la matrice M.
2. Si M 1 est un élément quelconque de F , montrer que M 12 et M 1 sont des vec- teurs orthogonaux dans l’espace euclidien (E, ϕ ), et que M 13 et M 1 sont coli- néaires. Que peut-on dire de M 1 n et M 1 , n étant un entier naturel supérieur ou égal à un? Discuter.
Partie E
1. M étant un élément quelconque de E, déterminer la « projection orthogonale » M 1 de M sur F. Calculer la somme de M 1 en fonction du déterminant de M 1. 2. On pose M = M 1 + λ I ( λ ∈ R). Déterminer λ en fonction de a et c. 3. Calculer M^2 , M^3 , ... , Mn^ en fonction de λ , I et des puissances de M 1.
Nice 2 septembre 1975
