M. IBGUI Pour le 27 février 2006
1 S3
Le but de ce DM est de déterminer le signe d'une fonction, dite fonction auxiliaire, pour déterminer le signe
d'une fonction dérivée.
Exercice I
1. Étude d'une fonction auxiliaire
f
:
Soit
f
la fonction définie sur
0;
par
1f x x x
.
1.a. Calculer
1f
et la limite de
f
en
.
1.b. Calculer
'fx
puis dresser la tableau de variation de
f
.
1.c. En déduire le signe de
f
sur
0;
. Justifier votre réponse en utilisant le sens de variation de
f
!
2. En déduire que pour tout
x
de l'intervalle
0;
,
1
23xx
en précisant le cas d'égalité.
Aide : on pourra dresser le tableau de variation de la fonction
g
définie sur
0;
par
1
2g x x x
après avoir vérifié que
2
'fx
gx x
.
Exercice II
On considère la fonction
f
définie sur
\1;1
par
32
2
2
1
xx
fx x
et on note C sa courbe
représentative dans un repère orthogonal. Unité graphique :
2cm
en abscisse et
1cm
en ordonnée.
Partie A. Étude d’une fonction auxiliaire
g
:
Soit la fonction
g
:
334x x x
,
x
.
1. Déterminer la limite de
g
en
et en
.
2. Dresser le tableau de variation de
g
.
3. Montrer que l’équation
0)( xg
admet une unique solution
dans .
4. Vérifier que
2,19 2,2
.
5. En déduire le signe de g sur .
Partie B. Étude de la fonction f
6. Déterminer les limites de
f
aux bornes de son ensemble de définition. On précisera les équations des
asymptotes à la courbe C
7.a. Montrer que, pour tout
x
de
\1;1
,
2
2
'1
x g x
fx x
.
7.b. En déduire le signe de
'fx
, puis dresser son tableau de variation de
f
.
8.a. Montrer que, pour tout x de
\1;1
2
2
21
x
f x x x
.
8.b. En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D en
et en
.
8.c. Étudier la position de C par rapport à D en précisant le point d'intersection de C et D .
9. Tracer C et D sans omettre les tangentes horizontales. [On prendra
2,2ff
.]
