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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \
septembre 1993
EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité
Soit p > 0. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on note F le point de
coordonnées
p
et (D) la droite d’équation y = −
p.
On note (P) la parabole de foyer F et de directrice (D).
1. Donner une équation cartésienne de la parabole (P). 2. Soit M un point de (P). On note a et b ses coordonnées et H sa projection or- thogonale sur (D). Montrer que le cercle de centre M passant par F est tangent en H à la directrice (D). Donner une équation de la tangente en M à (P) ainsi qu’une équation de la médiatrice du segment [FH]. En déduire que ces deux droites sont confondues. 3. Application On considère dans le plan une droite (∆), un point F de (∆) et un point N n’ap- partenant pas à (∆). Montrer qu’il existe deux paraboles (P) et (P′) et deux seulement, de foyer F et d’axe (∆) qui passent par N. On positionnera sur un dessin leur directrice (D) et (D′) par rapport à la droite (∆) et au cercle de centre N passant par F. Donner la position relative des tangentes en N à (P) et à (P′).
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
On considère la suite I définie par :
I 0 =
0
e d x
et pour tout entier n > 1 par
In =
n!
0
(1 − x ) n^ e d x.
1. a. Calculer
0
(1 − x ) n^ d x.
b. À l’aide de l’encadrement 1 6 e x^ 6 e valable sur l’intervalle [0 ; 1]. mon-
trer que pour tout entier n > 1 on a :
( n + 1)!
6 In 6
e ( n + 1)!
c. Montrer que la suite I est convergente et déterminer sa limite.
2. a. Calculer I 0 , puis I 1 à l’aide d’une intégration par parties.
b. Établir, en intégrant par parties, que pour tout entier n > 1 on a :
In + 1 − In =
n!
3. On pose pour tout entier n > 1 :
Jn = 1 +
n!
a. En utilisant les relations (1) exprimer Jn à l’aide de I 0 et In. b. En déduire la limite J de la suite ( Jn ). c. Justifier l’encadrement :
1 ( n + 1)!
6 J − Jn 6
e ( n + 1)!
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
Dans le plan orienté on considère un cercle ( C ) de centre O et de rayon 1,5 et un cercle ( C ′) de centre O′^ et de rayon 3. On suppose de plus que la distance de O à O’est égale à 6. Faire une figure (unité graphique : 1 cm).
1. On appelle (Γ) l’ensemble des points M du plan tels que
M O′
M O
a. Montrer que si I est le centre d’une similitude directe qui transforme ( C ) en ( C ′) alors I est un point de (Γ). b. Montrer que (Γ) coupe la droite (OO′) en deux points A et B que l’on caractérisera comme barycentres des points O et O′. c. Montrer que M est élément de (Γ) si et seulement si MA. ME = O. Déterminer (Γ) et le représenter sur la figure.
2. On veut prouver l’existence et l’unicité d’une similitude directe f d’angle
π 2 qui transforme ( C ) en ( C ′). a. Dans cette question on admet l’existence de f. Quelle est alors l’image de O par f et quel est le rapport de f? Soit T le point d’intersection de ( C ) avec le segment [OO′]. Déterminer l’image T ′^ de T par f. b. En déduire l’existence et l’unicité de f ; construire le centre de f (on ex- pliquera la construction).
PROBLÈME 11 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (0) =
et f ( x ) = 2 x ln x − x^2 2
− x +
pour x > 0
(ln désigne le logarithme népérien). L’objet du problème est l’étude de f et l’encadrement d’une aire.
Partie I Étude d’une fonction auxiliaire et de ses zéros
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
g ( x ) = 2ln x − x + 1.
En déduire l’inégalité :
A 6 F (5) +
∫ γ
5
h ( t ) d t. (2)
c. Donner une interprétation géométrique des inégalités (1) et (2).
3. Donner un encadrement de A à 10−^2 près.
