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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Métropole juin 1995 \
EXERCICE 1 5 points
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :
z^2 − 2 z + 2 = 0.
2. Soit K, L, M les points d’affixes respectives
z K = 1 + i ; z L = 1 − i ; z M = −i
p
Placer ces points dans le plan muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
Unité graphique : 4 cm. On complètera la figure dans les questions suivantes.
3. a. On appelle N le symétrique du point M par rapport au point L. Vérifier que l’affixe z N du point N est : 2 + i
(p 3 − 2
b. La rotation de centre O et d’angle π 2 transforme le point M en le point A et le point N en le point C. Déterminer les affixes respectives z A et z C des points A et C. c. La translation de vecteur
u d’affixe 2i transforme le point M en le point D et le point N en le point B. Déterminer les affixes respectives z D et z B des points D et B.
4. a. Montrer que le point K est le milieu des segments [DB] et [AC]. b. Montrer que :
z C − z K z B − z K
= i.
c. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
L’ objectif est de calculer les intégrales suivantes :
I =
0
p x^2 + 2
d x ; J =
0
x^2 p x^2 + 2
d x ; K =
0
x^2 + 2 d x.
1. Calcul de I Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par
f ( x ) = ln
x +
x^2 + 2
a. Calculer la dérivée de la fonction f ( x ) =
p x^2 + 2. b. En déduire la dérivée f ′^ de f c. Calculer la valeur de I.
2. Calcul de J et de K. a. Sans calculer explicitement J et K , vérifier que : J + 2 I = K. b. À l’aide d’une intégration par parties portant sur l’intégrale K ,montrer que : K =
p 3 − J. c. En déduire les valeurs de J et de K.
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
L’objectif est d’étudier la suite ( un ) définie pour tout entier n > 0 par :
u 0 =
0
p 1 + x^2
d x et, pour n > 1, un =
0
xn p 1 + x^2
d x.
1. a. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par
f ( x ) = ln
x +
1 + x^2
Calculer la dérivée f ′^ de f. En déduire u 0. b. Calculer u 1.
2. a. Prouver que la suite ( un ) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un ). En déduire que la suite ( un ) est convergente. b. Montrer que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1] on a :
1 + x^2
p
En déduire que pour tout entier n > 1, on a :
( n + 1)
p 2
6 un 6
n + 1
Déterminer la limite de ( un ).
3. Pour tout entier n > 3, on pose : In =
0
xn −^2
1 + x^2 d x.
a. Vérifier que pour tout entier n > 3, on a : un + un − 2 = In.
Par une intégration par parties portant sur In , montrer que pour tout en-
tier n > 3, on a :
nun + ( n − 1) un − 2 =
p
b. En déduire que pour tout entier n > 3 on a :
(2 n − 1) un 6
p
- (2) c. À l’aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite ( nun ) est convergente et calculer sa limite.
PROBLÈME 11 points
L’objectif est de déterminer les droites tangentes à la fois à la courbe représentant la fonction logarithme népérien et à celle de la fonction exponentielle, puis d’étudier la configuration obtenue.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
, unité graphique 1 cm. On note : Γ et C les courbes d’équations respectives : y = e x^ et y = ln x ; Ta la tangente à la courbe Γ au point A d’abscisse a , a étant un nombre réel. Dλ est la tangente à la courbe C au point K d’abscisse k , k étant un nombre réel strictement positif.
Partie A
Dans cette partie, on cherche le lien entre des droites, tangentes aux deux courbes Γ et C et qui sont parallèles ; puis à quelle condition une droite tangente à la courbe Γ est également tangente à la courbe C.
b. Vérifier que la droite T − μ est tangente à la courbe Γ au point A ′^ et qu’elle est aussi tangente à la courbe C en un point B 1 , dont on donnera les co- ordonnées en fonction de μ. Compléter la figure en plaçant les points A , B 1 , A ′^ et B.
3. a. Justifier les coordonnées suivantes :
A
μ ;
μ + 1 μ − 1
; B
μ − 1 μ + 1
; − μ
A ′
− μ ;
μ − 1 μ + 1
et B 1
μ + 1 μ − 1
; μ
b. En déduire que les droites Tμ et T − μ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. Déterminer la nature du quadrilatère AB 1 B A ′.
4. Montrer que l’aire du domaine limité par le segment [ A A ′^ ] et l’arc de la courbe Γ d’extrémités A et A ′^ est égale à 2 μ. On admettra que cet arc est situé en des- sous du segment [ A A ′].
