M. IBGUI Pour le 26 novembre 2005
1 S3
Exercice I :
Partie A : étude d'une fonction rationnelle
Soit
f
la fonction définie par
1
2
x
fx x
.
1. Vérifier que pour tout réel
2x
:
3
12
fx x
.
2. En déduire les variations de
f
sur chacun des intervalles où
f
est définie.
Partie B : étude d'une fonction irrationnelle
Soit
h
la fonction définie par
1 cos
2 cos
x
hx x
.
3. Vérifier que
h
est définie sur et que l'on peut réduire l'intervalle d'étude à
0;
.
4. Vérifier que
h
est la composée de deux fonctions dont l'une est
f
.
5. En déduire les variations de
h
sur
0;
puis dresser son tableau de variation sur l'intervalle
;
.
6. Tracer la représentation graphique de
h
sur
2 ; 2
. Unité graphique : 1 cm .
On pourra faire un tableau de valeurs pour
4
x
,
3
,
2
,
23
,
34
,
56
.
7. Résoudre graphiquement puis algébriquement l'équation
1hx
dans l'intervalle
2 ;2
.
Exercice II
Soit
f
la fonction de la variable
définie sur
0; 2
par
sin2f
Le but de cette partie est de justifier que la fonction
f
admet un maximum en une valeur
0
de l'intervalle
0; 2
et de préciser la valeur de ce maximum.
1. Justifier que
f
est la composée de deux fonctions de référence que l'on précisera.
2. Déterminer les variations de
f
sur
0; 2
puis dresser son tableau de variation.
3. En déduire que
f
admet un maximum en une valeur
0
que l'on précisera.
4. Construire la représentation de
f
dans un plan rapporté à un repère orthonormal.
Unité graphique : 4 cm .
Application :
Un rectangle
ABCD
est inscrit dans un demi-cercle de centre
O
et de rayon
R
, de diamètre
IJ
comme l'indique la figure ci-contre.
On note
désigne la mesure, en radians, de l'angle
BOC
et on suppose
que
0; 2
.
5. Déterminer, en fonction de
et
R
, l'aire du rectangle
ABCD
, notée A
.
6. Déterminer
pour que l'aire du rectangle soit maximale. Que vaut alors cette aire ?
7. En déduire les dimensions du rectangle (en fonction de
R
) et faire la figure correspondante.
OJ
I
C
Z
D
BA
