M. IBGUI Pour le 9 mars 2006
1 S3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 1
1
x
y
Exercice I : Une conjecture "raisonnable"
On considère la suite
n
v
définie par
01v
et la relation de récurrence
121
n
n
n
v
vv
.
1. Calculer les valeurs exactes
1
v
,
2
v
et
3
v
.
2. Conjecturer une expression de
n
v
en fonction de
n
puis démontrer votre conjecture.
3. Donner alors la représentation graphique
de la suite
n
v
en plaçant les six premiers termes dans un
repère orthogonal. Unités graphiques :
0,5 cm
en abscisse et
10 cm
en ordonnée.
4. Déterminer la monotonie de cette suite. On pourra travailler par encadrement successifs.
5. En déduire qu'elle est bornée.
6. Quel est le comportement de cette suite pour de grandes valeurs de
n
?
Exercice II : Nombres triangulaires (Pythagore, Gourou des nombres)
On considère la suite
1
nn
u
où
n
u
est le nombre de points d'un réseau triangulaire à
n
étages, comme
sur la figure ci-dessous.
11u
23u
36u
410u
1. Calculer
5
u
,
6
u
. Exprimer
1n
u
en fonction de
n
u
puis donner
2.a. Donner, à l'aide d'Excel par exemple, la représentation graphique de la suite
n
u
, notée
.
2.b. On peut alors constater que les points
11;1A
,
22 ;3A
,
33 ;6A
,
44 ;10A
etc... sont des points d'une
parabole P . Tracer P puis montrer qu'il existe une fonction
f
définie sur
0;
par
2
f x a x b x c
dont la représentation graphique P passe par les trois premiers points de
.
2.c. Vérifier alors que les points
1
A
,
2
A
, .... ,
6
A
sont des points de P puis conjecturer le nombre de points d'un
réseau triangulaire à 7 et 8 étages.
3.a. Le but de cette question est de montrer que tous les points de
sont des points de P .
Pour ce faire, montrer que pour tout
1n
,
n
u f n
. Aide : on pourra démontrer que la suite
1n
fn
ou encore
1
nn
f
a le même premier terme et la même relation de récurrence que la suite
1
nn
u
.
3.b. Vérifier votre conjecture à la question 2.b. et donner le nombre de points d'un réseau triangulaire à cent étages.
Pour les curieux : A l'aide d'un moteur de recherche, tapez : nombres polygonaux.
