M. IBGUI pour lundi 27 mars
1 S3 Devoir maison n°12
Le triangle de Sierpinski
1882 1969
On dispose au départ d'un triangle équilatéral de côté 3 cm dont l'intérieur est noir.
A la première étape, on construit le triangle des milieux que l'on colorie en blanc.
A la deuxième étape, on répète l'opération précédente pour chacun des trois triangles noirs de l'étape 1.
Étape 1 Étape 2 Étape 3
Et ainsi de suite ... indéfiniment !
Le dessin ci-contre est celui qui correspond à la 5ième étape.
On s'intéresse aux triangles blancs
n
T
construits lors de la n-ième étape.
Pour
1n
, on désigne par
n
u
le nombre de triangles
n
T
, par
n
p
le périmètre et
par
n
a
l'aire d'un triangle
n
T
.
Partie A : Étude d'un triangle
n
T
1. Calculer
1
u
,
1
p
et
1
a
.
2. Indiquer comment
2
u
,
2
p
et
2
a
s'obtiennent à partir de
1
u
,
1
p
et
1
a
.
3. Cela reste-t-il vrai de l'étape
n
à l'étape
1n
?
4. En déduire la nature des suites
n
u
,
n
p
et
n
a
puis exprimer
n
u
,
n
p
et
n
a
en fonction de
n
.
Partie B : Un tracé bien long
Soit
n
P
la somme des périmètres de tous les triangles
n
T
construits au cours de l'étape
n
.
5. Exprimer
n
P
en fonction de
n
u
et
n
p
puis vérifier que pour
1n
,
3 1,5 n
n
P
.
6. Calculer la limite des suites
n
u
,
n
p
et
n
P
. En quoi cette dernière limite est-elle surprenante ?
7. A partir de quelle étape
n
P
dépasse-t-il 1 m ?
10
km ?
Partie C : Vers le blanc
8. On désigne par
n
A
la somme des aires de tous les triangles
n
T
construits au cours de l'étape
n
.
8.a. Montrer que pour
1n
,
33 0,75
4n
n
A
.
8.b. En déduire la limite de la suite
n
A
.
9. On désigne par
n
S
la somme des aires de tous les triangles blancs obtenus lors des
n
premières étapes.
9.a. Conjecturer graphiquement la limite de la suite
n
S
.
9.b. Etablir que, pour
1n
,
93 1 0,75
4n
n
S
et valider votre conjecture.
9.c. A partir de quelle étape, le triangle est-il blanc à plus de 99 % ?