1
3m
1
2m
En empilant des cubes
On se demande si en empilant des cubes d'arêtes
1m
,
1
2m
,
1
3m
, etc.,
on peut former une pile plus grande que la tour Eiffel (324 m antenne comprise)
1m
Soit
n
h
la hauteur de la pile obtenue avec les n premiers cubes,
i.e.
1 1 1
1 ...........
23
n
hn
pour
1n
.
1.a. Montrer que pour tout
1n
,
11
1
nn
hh
n
.
1.b. En tabulant cette suite sur une calculatrice ou à l'aide d'un tableur,
donner une valeur approchée de
1000
h
,
10000
h
,
100000
h
.
Peut-on apporter une réponse à la question de départ ?
2. Quelques exemples
2.a. Écrire sous forme de sommes
2
h
,
4
h
et
8
h
puis
42
hh
,
84
hh
(ne pas effectuer les calculs).
2.b. Vérifier que
21
1
2
hh
;
42
1
2
hh
;
84
1
2
hh
.
2.c. En déduire que
81
3
2
hh
3. De façon générale
3.a. Pour
*
n
, on peut écrire de même
2nn
hh
comme somme de termes.
Combien de termes composent cette somme ? Quel est le plus petit d'entre eux ?
3.b. En déduire que pour tout
1p
,
21
2
pp
hh
puis que pour tout
1n
,
1
21
2
n
h h n
4. Quelle est la limite de la suite
n
h
?
Finira-t-on par dépasser les 324 m de la Tour Eiffel ?
