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[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1988 \
EXERCICE 1 4 POINTS
Dans le plan P on considère le triangle équilatéral ABC. On pose AB = BC = CA = a , a > 0.
1. Construire le point G barycentre du système (A, 2), (B, 1), (C, 1). 2. Déterminer et construire chacun des deux ensembles suivants : a. E 1 =
M ∈ P /2MA^2 + MB^2 + MC^2 = 2 a^2
b. E 2 =
M ∈ P /
MA 2 +
MA ·
MB +
MA ·
MC =
3 a^2 2
Pour ce dernier ensemble, on pourra utiliser le point G puis le milieu I du segment [AG].
EXERCICE 2 6 POINTS
Dans le plan P muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
un point M quel-
conque de coordonnées ( x ; y ) a pour affixe m , m ∈ C ; on note | m | le module de m et m le conjugué de m.
1. On considère la courbe E dont une équation cartésienne dans P est :
x^2 + 5 y^2 = 1.
Déterminer la nature géométrique de E et ses éléments caractéristiques (centre, axes, sommets). Tracer E dans le plan P (unité : 6 cm).
2. Soit Ω l’application de P dans P qui, à tout point M d’affixe m , associe M′^ d’af- fixe ω ( m ) définie par :
ω ( m ) = | m | +
m − m
On note E′^ l’image de E par Ω. a. Calculer les coordonnées x ′^ et y ′^ de M′^ en fonction de x et y , coordon- nées de M. Calculer | w ( m )|^2 en fonction de x et y , en déduire que E est l’ensemble des points M de P tels que | w ( m )| = 1 et que E′^ est contenue dans le cercle C de centre O et de rayon 1. b. Soit le point M′^ de coordonnées
x ′^ ; y ′
Montrer que M′^ admet un ou deux antécédents par Ω si et seulement si
les coordonnées de M′^ vérifient les deux relations : x ′^ > 0 et
y ′
6 2 x ′, caractériser géométriquement l’ensemble S ′^ de ces points M′^ ;
en déduire que E′^ est un arc du cercle C que l’on précisera.
PROBLÈME 10 POINTS
Les objectifs de ce problème sont l’étude des variations d’une fonction g et la construc- tion de sa courbe représentative Γ.
Partie A
Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.
1. Soit la fonction
f 1 : R∗+ → R x 7 −→ x + 1 + ln x.
On note Λ la courbe représentative de la fonction définie dans R∗+ par : x 7 −→ ln x dans le plan rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
a. Étudier les variations (sens de variations et limites aux bornes) de f 1 et déterminer le signe de f 1 ( x ) suivant les valeurs de x dans R∗+ (on mon- trera en particulier que f 1 s’annule en changeant de signe en un unique point x 0 de R∗+) ; b. Soit ∆ la droite d’équation cartésienne x + y + 1 = 0 ; tracer ∆ et Λ (unité de longueur : 2 cm) ; vérifier que x 0 (voir a.) est l’abscisse de l’unique point d’intersection de ∆ et Λ.
2. Soit la fonction
f 2 : R∗+ → R x 7 −→ 2 x ln x − x^2 + 1,
étudier le sens de variations de f (^) 2 ′ et de f 2. (On ne demande pas l’étude du comportement de ces fonctions lorsque x tend vers 0 et lorsque x tend vers +∞.) Calculer f 2 (1) et en déduire le signe de f 2 ( x ) suivant les valeurs de x dans R∗+.
Partie B
Soit g : R+ → R la fonction définie par
g (0) = 0 et g ( x ) =
x ln x x + 1
pour tout x ∈ R∗+.
On note Γ la courbe représentative de g dans le plan et D la tangente à Γ au point d’abscisse 1.
1. a. Montrer que g est continue sur R+ ; déterminer, si elle existe, la demi- tangente à Γ au point d’abscisse 0. b. Étudier les variations de g , en utilisant A 1. a. ; vérifier que g ( x 0 ) = − x 0 · 2. Étudier les positions relatives de Λ et Γ. Soient M et M′^ les deux points de Λ et Γ de même abscisse x ; quelle est la limite de M′M lorsque x tend vers +∞? Interpréter géométriquement ce résultat. 3. En utilisant A 2., étudier la position relative de Γ par rapport à D. 4. Tracer D et Γ sur le graphique de A 1.
Amérique du Sud 2 novembre 1988
