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2021-22 Trigonométrie BCPST 1
Travaux Dirigés
- FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE -
Exercice 1 :
Simpli er les expressions suivantes :
a) cos
π
2
π − θ
− 3 cos
π
2
− θ
b) − cos
π + θ
π
2
− 2 sin
π
2
− θ
Exercice 2 :
Démontrer qu'on a
1 + tan 2
3 π
5
cos
3 π
5
- RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS ET D'INÉQUATIONS -
Exercice 3 :
Résoudre dans R les équations suivantes :
a) cos x = 1; b) sin x =
; c) cos(5x) = −
; d) sin 2 x −
sin x − 2 = 0;
e) 2 cos 2 x − cos x = 0; f) tan x = −
Exercice 4 :
Résoudre dans R les équations suivantes :
a) 1 +
3 sin 2x − cos 4x = 0; b) cos 2x −
3 sin 2x − 2 cos x + 1 = 0.
Exercice 5 :
Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a)
≤ sin 2 (x) ≤
; b) 2 cos 2 (x) − 3 cos(x) + 1 ≤ 0 ; c) tan 2 (x) − 1 < 0.
- TRANSFORMATION DE a cos(θ) + b sin(θ) EN r cos(θ + φ) -
Exercice 6 :
a) Soit θ ∈ R. Écrire sous la forme r cos(θ + ϕ) l'expression
2 cos θ +
6 sin θ.
b) Résoudre les équations
2 cos x +
6 sin x = 4 et
2 cos x +
6 sin x =
Exercice 7 :
On considère le réel α ∈
[
π 2
]
véri ant cos(α) =
√ 6+
√ 2
a) Calculer cos(2α) et en déduire α.
b) Montrer que sin(α) =
√ 6 −
√ 2
c) Résoudre alors dans R l'équation:
- cos(x) + (
- sin(x) = 2.
- GÉOMÉTRIE -
Exercice 8 :
Un (gros) livre est posé verticalement entre deux étagères. On l'incline et l'on s'intéresse à l'angle maximal d'inclinaison s'il existe. Les dimensions de la couverture du livre sont de 20 cm sur 30 cm et son épaisseur est de 5 cm. La distance entre l'étagère du dessous (en cm) et celle du dessus n'est pas connue et on la note h.
a) Faire un dessin en coupe de la situation où le livre est incliné au maximum.
b) Montrer que, si l'angle maximal d'inclinaison existe, il est solution de l'équation
5 cos(x) + 30 sin(x) = h.
c) Pour quelles valeurs de h existe-t-il un angle maximal d'inclinaison? Exprimer cet angle en fonction de h.
Exercice 9 : Calcul de cos
On considère un pentagone régulier ABCDE de côté 1.
- a) La somme des angles d'un pentagone convexe est 3 π. Que valent les angles au sommet d'un pentagone régulier?
b) En déduire une mesure de l'angle DCÊ.
- On note d la longueur d'une diagonale intérieure du pentagone ABCDE. On note F l'intersection des droites (AB) et (CD).
a) Quelle est la nature du quadrilatère EBF C?
b) Que dire des droites (BC) et (AD)?
c) En déduire que d est solution de l'équation x 2 − x − 1 = 0, puis sa valeur.
- En considérant le triangle DCG où G est le milieu de [EC], conclure que cos
π
5
- Calculer sin
π
5
, cos
2 π
5
, sin
2 π
5
, cos
3 π
5
et cos
7 π
10
