Interrogation de cours no10.
Jeudi 15 avril 2021
Nom :Temps :20 minutes
Q1 : 1pt Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel de dimension finie. Définir la dimension de E.
La dimension de Eest le nombre d’éléments (ou le cardinal) de E. Si Best une base de E, dim(E) = card(B).
Q2 : 2pts Donner la dimension de E×F, de E1×...×En, de En.
dim(E×F) = dim(E) + dim(F), dim n
Y
i=1
Ei!=
n
X
i=1
dim (Ei)et dim (En) = ndim(E).
Q3 : 2pts Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit Fun sous-espace vectoriel de E. Que dire de
dim(F)?
dim(F)6dim(E)avec égalité si et seulement si F=E.
Q4 : 2pts Soit (E , +, .)un K-espace vectoriel de dimension finie n. Que dire du cardinal d’une famille libre ? d’une famille
génératrice de E?
Soit (ui)16i6p∈Ep.
•Si (ui)16i6pest libre, alors p6n. De plus, (ui)16i6pest une base de Esi et seulement si p=n.
•Si (ui)16i6pest génératrice de E, alors p>n. De plus, (ui)16i6pest une base de Esi et seulement si p=n. .
Q5 : 1pt Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit (ui)16i6pune famille de pvecteurs de E. Définir
le rang de cette famille.
Le rang de la famille (ui)16i6pest la dimension de l’espace engendré par cette famille : rg (ui)16i6p=dim Vect(ui)16i6p.
Q6 : 5pts Enoncer toutes les propriétés usuelles du rang d’une famille de vecteurs.
On reprend les notations de Q5. Soit r=rg (ui)16i6p.
•r6pet de plus r=p⇔(ui)16i6pest libre.
•r6net de plus r=n⇔(ui)16i6pest génératrice de E.
•r=p=n⇔(ui)16i6pest une base de E.
rest le cardinal maximum d’une sous-famille libre de la famille (ui)16i6pou encore il existe une sous-famille libre de la
famille (ui)16i6pest libre et toute sous-famille de la famille (ui)16i6p, de cardinal strictement plus grand que rest liée.
Q7 : 3pts Enoncer toutes les transformations usuelles d’une famille de vecteurs ne modifiant pas son rang.
Les transformations élémentaires suivantes ne modifient pas le sous-espace engendré par les vecteurs de cette famille et en
particulier ne modifie pas son rang :
•transposer deux vecteurs de cette famille (ui↔uj).
•remplacer un vecteur ui0de cette famille par λui0,λ6= 0 (ui←λui,λ6= 0).
•ajouter à un vecteur de la famille un autre vecteur de cette famille (ui←ui+uj,j6=i).
Les transformations moins élémentaires suivantes ne modifient pas le sous-espace engendré par les vecteurs de cette famille
et en particulier ne modifie pas son rang :
•permuter les vecteurs de la famille.
•ajouter à un vecteur de la famille une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille (ui0←ui0+X
i6=i0
λiui).
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