Interrogation de cours no8.
Mercredi 7 avril 2021
Nom :Temps :20 minutes
Q1 : 2pts Soient (E , +, .)et (F, +, .)deux K-espaces vectoriels. Donner la définition d’une application linéaire de Evers
Fet d’une forme linéaire sur E.
Soit fune application linéaire de Evers F.fest linéaire ⇔ ∀(x, y)∈E2,∀(λ, µ)∈K2,f(λx +µy) = λf(x) + µf(y),
ou aussi fest linéaire ⇔ ∀(x, y)∈E2,f(x+y) = f(x) + f(y)et ∀x∈E,∀λ∈K,f(λx) = λf (x).
Une forme linéaire sur Eest une application linéaire de Edans K.
Q2 : 4pts Quelles sont les formes linéaires sur Kn? Donner un exemple de forme linéaire sur K[X], un exemple de forme
linéaire sur l’espace Cdes suites convergentes à coefficients dans Ket un exemple de forme linéaire sur C0([a, b],K).
Les formes linéaires sur Knsont les applications de la forme (x1,...,xn)7→ a1x1+...+anxnoù a1,..., ansont nnombres
donnés.
Une forme linéaire sur K[X]est P7→ P(a)où aest un nombre donné (évaluation en a).
Une forme linéaire sur Cest (un)7→ lim
n→+∞un
Une forme linéaire sur C0([a, b],K)est f7→ Zb
a
f(t)dt.
Q3 : 3pts Qu’est ce qu’un endomorphisme ? un isomorphisme ? un automorphisme ?
Soient (E, +, .)et (F, +, .)deux K-espaces vectoriels.
Un endomorphisme de Eest une application linéaire de Evers E.
Un isomorphisme de Esur Fest une application linéaire bijective de Esur F.
Un automorphisme de Eest une application linéaire bijective de Esur E.
Q4 : 4pts Soient (E , +, .)et (E′,+, .)deux K-espaces vectoriels. Soit f∈L(E, E ′). Montrer que l’image réciproque d’un
sous-espace vectoriel de E′par fest un sous-espace vectoriel de E.
Soient F′un sous-espace vectoriel de E′puis F=f−1(F′).
•f(0E) = 0E′∈F′et 0E∈f−1(F′) = F.
•Soient (x, y)∈F2et (λ, µ)∈K2.(x, y)∈F2et donc f(x)∈F′et f(y)∈F′. Puisque fest linéaire et que F′est un
sous-espace vectoriel de E′,
f(λx +µy) = λf (x) + µf (y)∈F′.
Mais alors, λx +µy ∈f−1(F′) = F.
En résumé, Fcontient le vecteur nul de Eet est stable par combinaisons linéaires. Donc, Fest un sous-espace vectoriel
de E.
Q5 : 3pts Définir le noyau et l’image d’une application linéaire.
Soient (E, +, .)et (F, +, .)deux K-espaces vectoriels. Soit f∈L(E , F ).
Le noyau de fest Ker(f) = f−1({0F}). Donc, Ker(f) = {x∈E/;f(x) = 0}ou encore ∀x∈E,(x∈Ker(f)⇔f(x) = 0).
L’image de fest Im(f) = f(E). Donc, Im(f) = {f(x), x ∈E}ou encore ∀y∈F,(y∈Im(f)⇔ ∃x∈E/ y =f(x)).
.
Q6 : 3pts Soient (E, +, .)et (F, +, .)deux K-espaces vectoriels. Soit f∈L(E, F ). Soit (ui)16i6n∈En.
Si la famille (ui)16i6nest liée, la famille (f(ui))16i6nest-elle liée ?
Si la famille (ui)16i6nest liée, la famille (f(ui))16i6nest liée. Une application linéaire préserve les relations
de dépendance linéaire.
Si la famille (ui)16i6nest libre, la famille (f(ui))16i6nest-elle libre ?
Si la famille (ui)16i6nest libre, la famille (f(ui))16i6nn’est pas nécessairement libre. Par exemple, une projection
peut envoyer deux vecteurs non colinéaires sur un même vecteur.
Mais si fest injective, l’image par fd’une famille libre est une famille libre.
