Interrogation de cours no9.
Jeudi 8 avril 2021
Nom :Temps :20 minutes
Q1 : 1pt Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. Qu’est ce qu’un hyperplan de E?
Un hyperplan de Eest le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.
Q2 : 1pt Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. Qu’est ce qu’une homothétie de E?
Une homothétie de Eest une application de la forme λI dE,λ∈K. Si f=λIdE, alors pour tout xde E,f(x) = λx.
Q3 : 2pts Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Définir
la projection psur Fparallèlement à G.
Soir u∈E. Il existe (v, w)∈F×Gtel que u=v+w. Alors p(x) = v.
Q4 : 4pts Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Soit p
(resp. q) la projection sur Fparallèlement à G(resp. sur Gparallèlement à F). Donner les propriétés usuelles de pet q.
•p∈L(E)(et q∈L(E)).
•p2=p(et q2=q).
•p+q=IdEet pq =qp = 0.
•F=Im(p) = {u∈E/ p(u) = u}=Ker (I dE−p) = Ker(q)et G=Ker(p) = {u∈E/ p(u) = 0}=Im(q). .
Q5 : 5pts Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. Soit f∈L(E)tel que f2=f. Montrer que E=Im(p)⊕Ker(p)puis que
fest la projection sur F=Im(p)sur G=Ker(p).
•Soit x∈Ker(f)∩Im(f). Alors, f(x) = 0 et il existe y∈Etel que x=f(y).
x=f(y) = f2(y) = f(f(y)) = f(x) = 0.
Donc, Ker(f)∩Im(f)⊂ {0}puis Ker(f)∩Im(f) = {0}car Ker(f)∩Im(f)est un sous-espace vectoriel de E.
•Soit x∈E.x=f(x) + (x−f(x)) ou encore, en posant y=f(x)et z=x−f(x), on a x=y+z.yest dans Im(f)et
d’autre part,
f(z) = f(x−f(x)) = f(x)−f2(x) = 0
et donc z∈Ker(f). Ainsi, ∀x∈E,∃(y, z)∈Im(f)×Ker(f)/ x =y+z. Donc, E=Im(f) + Ker(f).
•E=Im(f) + Ker(f)et Ker(f)∩Im(f) = {0}. Donc, E=Im(f)⊕Ker(f).
•Soit pla projection sur F=Im(f)parallèlement à G=Ker(f). Soit x∈E. On décompose xen x=f(x) + (x−f(x))
avec f(x)∈Im(f)et x−f(x)∈Ker(f). Donc, p(x) = f(x).
On a montré que f=p.
.
Q6 : 3pts Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Soit sla
symétrie par rapport à Fparallèlement à G. Donner les propriétés usuelles de s.
•s= 2p−IdEet p=1
2(IdE+s)
•s∈L(E)
•s2=IdEet en particulier s∈GL(E)
•F=Ker (s−IdE) = {u∈E / s(u) = u}et G=Ker (s+IdE) = {u∈E / s(u) = −u}.
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