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[ Baccalauréat C Maroc juin 1973 \
EXERCICE 1
Résoudre dans C l’équation :
z^3 + 2(i − 1) z^2 − 3i z + i + 1 = 0.
(Donner les racines sous la forme a + i b , avec a ∈ R, b ∈ R. Remarquer une racine évidente). Le plan affine euclidien étant rapporté à un repère orthonormé, montrer que les points ayant pour affixes les racines de cette équation, sont les sommets d’un tri- angle rectangle.
EXERCICE 2
Soit f la fonction numérique, définie sur R, par :
{
f ( x ) = Log x si x > e^2
f ( x ) = ax + b si x < e^2
où a et b sont des nombres réels.
1. Déterminer a et b pour que la fonction f soit continue et dérivable sur R. 2. On suppose maintenant a = e−^2 et b = 1. Étudier les variations de la fonction f , et la représenter graphiquement dans un repère orthonormé. 3. Montrer que f admet une fonction réciproque f −^1 , définie sur R. Pour tout nombre réel y , expliciter l’expression de x = f −^1 ( y ), en fonction de y , (distinguer selon les valeurs de y ). Montrer que la fonction f −^1 est dérivable, et donner l’expression de sa dérivée au point y , en fonction de y.
PROBLÈME
On rappelle que l’ensemble F des fonctions numériques définies sur R, muni de l’addition :
f + g : x 7 −→ f ( x ) + g ( x ) pour tout ( f , g ) ∈ F × F
et de la multiplication externe par les nombres réels :
λf : x 7 −→ λf ( x ) pour tout ( λ , f ) ∈ R × F
est un espace vectoriel sur R. Soient A , B , C , les fonctions numériques définies sur R par :
A ( x ) = x e x^ , B ( x ) = e x^ , C ( x ) = e− x^ pour tout x ∈ R.
Soit E le sous-espace vectoriel de F engendré par A , B , C , c’est-à-dire l’espace vec- toriel des fonctions f , de la forme f = a A + bB + cC où a , b , c sont des nombres réels quelconques.
Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.
1. Montrer que toute fonction f appartenant à E est dérivable, et que sa dérivée appartient à E. Soient α , β , γ des nombres réels. Déterminer les fonctions f ∈ E telles que f (0) = α , f ′(0) = β , f ′′(0) = γ. En déduire que les fonctions A , B , C , sont linéairement indépendantes. Quelle est la dimension de E? 2. Pour tout nombre réel λ , soit fλ la fonction : fλ ( x ) = x e x^ + λ e− x^. Étudier, selon les valeurs de λ , les limites à l’infini de la fonction fλ ainsi que de la fonction x 7 −→ fλ ( x ). (Distinguer λ < 0, λ = 0, λ > 0). Étudier les variations de la fonction f 0 et tracer sa courbe représentative. Quelles sont les variations de la fonction g définie par :
g ( x ) =
2e^2
f 0 (2( x + 1))?
En s’aidant de la fonction g , étudier les variations de la fonction fλ selon les valeurs de λ. Tracer la courbe représentative de la fonction fλ pour λ = −
2e^3 et pour λ = 1.
3. Montrer que l’application D de E dans E, définie par D ( f ) = f ′, pour toute f E E , est une application linéaire bijective. Déterminer les coefficients réels a , b , c de façon que la fonction f = a A + bB + cC ait pour dérivée une fonction donnée h = r A + sB + tC , appartenant à E. 4. Montrer que si ac = 0, la fonction f = a A + bB + cC , et les fonctions f ′^ et f ′′, sont linéairement indépendantes. Exprimer dans ce cas f ′′′^ comme combinai- son linéaire de f , f ′, f ′′, et vérifier que la relation ainsi obtenue entre f , f ′, f ′′ et f ′′′, reste valable pour toute f ∈ E.
Maroc 2 juin 1973
