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[ Baccalauréat C Antilles juin 1996 \
EXERCICE 1 4 points
Une urne contient une boule rouge, deux boules blanches et trois boules noires.
1. On extrait simultanément trois boules de cette urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Soit X la variable aléatoire « Nombre de boules blanches tirées parmi les trois boules extraites ». Déterminer la loi de probabilité de X , son espérance mathématique et son écart type. 2. On extrait successivement trois boules de cette urne, en remettant après chaque tirage la boule extraite de l’urne. On suppose tous les tirages équiprobables. Soit Y la variable aléatoire « Nombre de tirages où apparaît une boule blanche ». Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique.
EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 6 points
1. On considère dans C l’équation d’inconnue Z :
Z^3 − 12 Z^2 + 48 Z − 128 = 0.
a. Vérifier que 8 est solution de cette équation. Déterminer les nombres réels α , β et γ tels que, pour tout nombre com- plexe Z :
Z^3 − 12 Z^2 + 48 Z − 128 = ( Z − 8)
αZ^2 + βZ + γ
b. Résoudre alors l’équation (E)
2.
O,
u ,
v
est un repère orthonormal du plan orienté (unité : 1 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
a = 2 − 2i
p 3, b = 2 + 2i
p 3 et c = 8. a. Calculer le module de a ,| a | et donner un argument de a. b. Calculer le nombre complexe q = a − c b − c
, déterminer son module et son argument ϕ. En déduire, la nature du triangle ABC. c. Déterminer le barycentre D des points pondérés (A, | a |), (B, | b |), (C, | c |). Placer D. d. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que : ∥ ∥∥− M −→A + − M −→B + 2 − M −→C
∥∥− M −→A + − M −→B − 2 − M −→C
Tracer Γ.
EXERCICE 2 SPÉCIALITÉ 6 points ( O,
u ,
v
est un repère orthonormal direct du plan orienté, l’unité graphique est 2 cm. On considère l’application f de ce plan privé de O dans lui-même qui à tout point M d’affixe z non nulle associe le point M ′^ d’affixe :
z ′^ = z +
z
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. a. On considère les points P, Q, R, U d’affixes respectives 2,−2,i,−2i. Calcu- ler les affixes de leurs images par f notées P′, Q′, R′, U′. Placer ces points. b. Soit E′^ le point d’affixe −1. Montrer que E′^ est l’image par f de deux points E 1 et E 2 dont on calculera le affixes z 1 et z 2. Calculer | z 1 | (ou bien | z 2 |) et utiliser ce résultat pour placer E 1 et E 2. Placer E′. 2. On se propose de déterminer l’ensemble
des points M ′^ lorsque M décrit une courbe (Γ) donnée. a. Préliminaire : on note r le module de z et θ son argument ; on désigne par x ′^ et y ′^ les coordonnées de M ′. Donner l’écriture algébrique de z ′^ en fonction de r et θ et montrer que l’on a :
x ′^ =
r +
r
cos θ
y ′^ =
r −
r
sin θ
b. On suppose que M décrit le cercle (Γ 1 ) de centre O et de rayon 1.
- Justifier que les points R′^ et E′^ appartiennent à
- Déduire du 2. a. une représentation paramétrique de (Γ 1 ) et préciser la nature de (Γ 1 ). c. On suppose que M décrit le cercle (Γ 2 ) de centre O et de rayon 2. Justifier que les points P′, Q′^ et U′^ appartiennent à
Donner une représentation paramétrique de
. En déduire que
est une ellipse dont on donnera une équation cartésienne. Préciser les éléments géométriques (sommets, foyers, directrices, excen- tricité) de
et tracer
PROBLÈME 10 points
Partie A - Étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) = 5
ln x p x
On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
O,
ı ,
du plan, l’unité graphique est 1 cm.
1. Étudier les limites de f respectivement en 0 et en +∞. Que peut-on en déduire pour la courbe ( C )? 2. Étudier le sens de variation de f et donner le tableau de ses variations. 3. Donner une équation de la tangente ( T ) à ( C ) en son point A d’abscisse 1. Tracer ( T ) et ( C ). 4. Soit le domaine plan
( D ) = { M ( x ; y )/1 6 x 6 e^2 et 0 6 y 6 f ( x )}.
Calculer l’aire en cm^2 de (D) à l’aide d’une intégration par parties.
Partie B - Étude de l’équation f ( x ) = − 5
1. Justifier l’affirmation : « l’équation f ( x ) = −5 admet sur ]0 ; +∞[ une solution unique α , et 0,4 < a < 0,6 ».
Antilles–Guyane 2 juin 1996
