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Aix-Marseille Universit´e L2 EM S
Math´ematiques 4 L. Bruasse
Feuille d’exercices 2
Exercice 1 :
Montrer que :
- si λ est une valeur propre de la matrice A, alors λk^ est une valeur propre de la matrice Ak (k ∈ N?) et αλ est une valeur propre de la matrice αA ;
- deux matrices semblables ont les mˆemes valeurs propres ;
- les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont donn´ees par ses ´el´ements diagonaux ;
Exercice 2 :
D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes :
A =
[
]
, B =
[
]
, C =
[
]
Ces matrices sont-elles diagonalisables dans R ou dans C?
Exercice 3 :
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables?
A =
, B =
C =
D =
Si oui, donnez la forme diagonale et la matrice de passage. Application : calculez An^ et Dn^ pour n ∈ N?.
Exercice 4 :
D´eterminer pour quelles valeurs des param`etres a et b la matrice
a b 0 0 1 − 1 0 2 4
est diagonalisable. Si elle l’est, donner la forme diagonale et la matrice de passage.
Exercice 5 : ( pour voir si on a tout compris depuis le d´ebut du cours !)
A quelle condition la matrice suivante est-elle diagonalisable? Quelles sont ses valeurs propres?
A =
a b c d a b c d a b c d a b c d
(a, b, c, d)^6 = (0,^0 ,^0 ,^ 0)
Remarque : l’argument tient en quelques lignes ....
Exercice 6 : (un petit retour sur les formes quadratiques)
D´eterminer le signe des formes quadratiques suivantes.
- q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz
- q(x, y) = −x^2 + 4xy + 3y^2
- q(x, y, z, t) = x^2 + 2yz + 2zt − 2 t^2.
Syst`emes lin´eaires r´ecurrents, processus de Markov
Exercice 7 :
Soient (ut) et (vt) deux suites d´efinies par la donn´ee de (u 0 , v 0 ) et la relation
ut+1 =
ut + vt + 1
vt+1 = −
vt + 3
Exprimer cette relation sous forme matricielle, puis r´esoudre ce systeme et en d´eduire les valeurs de ut et vt. L’´equilibre du systeme est-il stable?
Exercice 8 :
Mˆeme question que dans l’exercice pr´ec´edent avec le syst`eme :
xt+1 = 3xt − yt yt+1 = −xt + 2yt − zt zt+1 = −yt + 3zt
Exercice 9 :
Pour chacune des matrices suivantes, trouver la solution g´en´erale r´eelle du syst`eme r´ecurrent Xn+1 = AXn : [ − 1 − 1 1 − 1
]
[
]
Exercice 10 : processus de Markov
On considere un march´e de titres avec deux titres A et B. Le titre A se vend toujours 5 euros ou 10 euros, le titre B toujours 6 euros ou 12 euros. Si le titre A se vend 5 euros aujourd’hui, il y a 75% de chance qu’il soit vendu 5 euros demain ; s’il est vendu 10 euros aujourd’hui, il y a 90% de chance qu’il soit vendu 10 euros demain. Si le titre B est vendu 12 euros aujourd’hui, il y a 70% de chance qu’il soit vendu 12 euros demain, s’il est vendu 6 euros aujourd’hui, il y a 90% de chance qu’il se vende 6 euros demain. Comment ´evolue ce march´e des titres? Remarque : L’hypothese que les prix du march´e des titres suivent un processus de Markov est une forme possible de l’hypoth`ese d’efficience du march´e
