rappels mathématiques
Les nombres complexes
Ensemble C des nombres complexes :
{
}
CaibaIRbIR=+ ∈ ∈/, avec i2 = -1
Soit
z
aib=
+
un nombre complexe
Partie réelle : a notée . Partie imaginaire : b notée
ℜez()
ℑ
mz()
.
Si ℜ = 0 , on dit que z est imaginaire pur.
ez()
Egalité de deux nombres complexes :
aibaib aa
bb
+=+⇔ =
=
⎧
⎨
⎩
'' '
'
Somme :
()()
(
)
(
)
aib aib aa ibb+++ =+++'' ' '
Produit :
()()( )
(
)
a ib a ib aa bb i ab a b++=−++'' ' ' ''
Nombres complexes conjugués :
z
aib
=
+
et
z
aib
=
−
zz=,
z
z
+'=+
′
z
z
,
z
z
z
z
''
=
zz mz=⇔ℑ =() 0 , zz ez
=
−
⇔
ℜ
=
() 0
Forme trigonométrique :
(
)
zr i=+cos sin
θθ
Module de z : r noté r. Argument de z :
θ
noté Arg(z).
ar=cos
θ
, br=sin
θ
, rab=+
22
; notation souvent utilisée
[]
zr=,
θ
Produit :
()
(
)
[]
zz rr i''cos 'sin '=+++
θθ θθ
soit
[
]
zz rr'';'=+
θθ
Quotient :
() (
[]
z
z
r
ri
''
cos ' sin '=−+−
θθ θθ
)
soit z
z
r
r''
,'=−
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
θθ
Formule de Moivre :
()
[]
()
zr i r nin
nnn
=+ = +cos sin cos sin
θθ θ θ
Représentation graphique (repère orthonormé) :
(
)
zaibr i=+ = +cos sin
θθ
M est l’image de z.
b M(z) z est l’affixe du point M.
r
θ
0 a
Notation exponentielle : avec par convention e
zre
i
=
θ
i
θ
= cos
θ
+ isin
θ
les règles de calcul de la fonction exponentielle s’appliquent :
zz rr ei
''
('
=+
θθ
)
, z
z
r
r
ei
''
('
=−
θθ
)
, zre
nnin
=
θ
Equation du second degré à coefficients réels et discriminant
Δ
négatif :
ax bx c
20++
=
avec
Δ
< 0 . On écrit (en remplaçant -1 par i
Δ
=i2
δ
2)
Les solutions sont deux nombres complexes conjugués xbi
a
=
−
+
δ
2 et xbi
a
=−−
δ
2