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Serie numeri che
De
data una^ successione^
numerica
{ an} (^) n
K
poniamo ah
[
=
Gota,
-1..^.^.^.^ -1^9 , ÷ neo e chiamiamo^ { Sia }^ ,^ successione^ delle somme^ parziali di { ad^. Poniamo (^ formalmente
«
- s [ an^ = (^) 1in Et^ an i Iim e KS +^ so^ neo^ K^
- sto
MIO
e chiamiamo^ I} Un neo serie (^) numerica con termine^ generale an
Def.^ (^ carattere^
di una^ serie numerica)^ :^ diciamo 00
che la^ serie^ an
h = O ① converge , se esiste^ finito^ il^ limite di (^) # sia^
= S .
« →^ tao
e
5 =^ la^ somma^
della serie^2! an^ . n'- O ② diverse (^) ,^ se 1in Si,^ = ¥ o le →^ Tao ③ oscillarmi se 1in sia^ $ K - sta
Esempi
i
① an^ = (^) n (^). Allora Isdn^ diverse^.^ Infatti, ht 0
k
k ( Karl
sia = (^) [ n^ =
vi. 0
1in Sia^ =^ -1^ so
K -1 -
②
an
.. c- al
"
.^ Si^
ha
0 per K^ dispari sia = (^) Got art^.^ -^ -^ dice^1 +^ (^ -7) -1^.^.^.^ +^ C-^ a) " e { (^7) per
te pari
Tim
S
et (^) ,
Quindi
TI C-^ y
oscilla letto (^) _ mio 3~aseriegeometrgoneq.IR
Eiar "
1.^ In^
tal caso
TI g " (^) =^ I J 1 -^ G neo
e : (^) se modifichiamo l'indice^ a partire dal (^) quale sommiamo^ la^ serie,^ cioe
quindi 1in^ si, = (^) + a la^ serie 12 -7^ -
so
[ login -17 (^) ) diverge nonostante
Iim (^) loghi Fe^ )^ Eào^.
ht ao
Serie (^) numeri che (^) a termini (^) positivi 00 Def :^ sia censo per (^) ogni neh.^ Allora^ È, an
- ⑧ si di serie numerica^ a^ termini^ positivi.
Lamina : (^) sia (^) [ a , una^ serie^ a^ termini
=D
positivi.^ Allora^ essa^ o -^ converge o_^ diversa^. Dice
: Per ogni 47,1^ si^ ha
G. (^) + (^) , = 5
t (^) are
(^7) Sia 0 quindi la (^) successione { S,}
e ' crescente
percio '
ammette limite^ per^ le^
→ +^ oo^. Inoltre vale 1in Sia^
= snp
Sia (^). K →^ to^ Kpn
Criteri di convergenza
Teorema (^ criterio^
del confronto)
: siano fan
}n e { bn^ },
due successioni numeriche^ tali^
che
0 e^ an^ E^ bin^
Hn ehi Allora (^) valgono le^ seguenti^ implicazioni^ :
do 00
① se [^ an^ diverge^ TI bn^ diverge
h =D
h =D LO
so qn converge
② [^ bn^
converge
' (^) I neo neo Florence (^ criterio^ del^ confronto asintotica^ )^ : Siano (^) { an} e^ {^ ba^ }^ due^
successioni numeriche
positive ,^ e^
supponiamo che^ esista^
finito
il limite^ on
line
Se l^ eco,^ -101^ ,
allora
so
[ an^ converge^ [ bn^ converge vi. 0 h =^0 Esempio : (^) la serie armonica 00 % (^) È diverge. vi. s
② se 971 ,
la serie
z; a. diverge^. h =D Per (^) qst, il^ criterio^ è^
inefficace.
senapi
, la serie^ È I; diverse^.
Infatti
un =^ O
hit hip
cena , ch'^ il^ n^
' Kay linea = 1in In
-^ =^ line - n -^ zoo^ usa un^ Ct vita =L:^ TÈ)^
%:( nati
8 U
n
2
la (^) serie (^) [ 2
( (^) ) converge.
h =^ O
Infatti II. Fa.^
fi: .tt#T-- ± II. 2 ¥ )
1-a = 2 1- (^) =^ Z^
= 2 t.int#I)^ linciata)^ " (^) e
in -78^ naso
la serie^ converge.
Serializzato : so
- (^) a [! (^) % con^ a > ° j aaah
n'-
N-^ B.^ :^ per te^ o^ si^ ha^ μ;# n
la serie diverge
d
Risulta anti^ h
1in
- i^ live - a =
an naso μ -11)
h A
III.
a)
'
= s' =p
Analogamente
1in fa.^ =^1
in -
sia il^ criterio^
del rapporto che il criterio della^ radice^
sono inefficaci^.
Teorema ( criterio^ di^
Mac Lanvin (^) ) (^) :
sia f :[1. a) →^ IR
una (^) funzione (^) positiva e decrescente^.
Scia an.^ = fin) .^ Allora^
la (^) serie 00
Et an
has
converge se^ e^
solo se converge l'integrale improprio
S flt)^ di
1 In tal^ caso^ vale
a
Èan
e
Ìfcxiaxe
Eta J.
ha -
Serie numeriche a^ termini^ di^ segno variabile
Detti.^ sia^ [ an^ una^ serie^ numerica^.^ Diciamo ~ =D che
a
① FI an^ converge^ assolutamente se^ converge MIO do
la serie
II Ianni neo
o
② IT^ an^ converge^
zampi,
h :O
O
converge, ma^
la serie (^) [ 19cal diverge^. h =D Teorema (^ criterio^
di convergenza assoluta)
Data fan^ }
CIR
supponiamo che^ la^ serie
[ an^ converga^ assolutamente.^ Allora^
la
M¥ 0
so
se TI^ an^ converge^ e vale MIO (^1) È
a. (^) i ±^ Ìiianl Esempio •
: la serie
z, cosi
converge
assoluta -
ha
na (^) mente
9h
Infatti (^1) cosca! ) (^) le 1 ¥ n^ ew^ e^ quindi
a 19mi E^ Tu . Siccome TI (^) fa converge vi. 7
Per il^
criterio di^ Machaurin,
il criterio^
che / confronto^
implica che
do
= Ian )
2- converge^.
vien
Nei casi^ in^ cui^ la^
serie ET^ an converge^
solo
me O semplicemente abbiamo^ bisogno^ di un criterio più fine^ i Teorema (^ criterio^ di^ Dirichlet)^ :^ sia^ 2am},
tale la^ successione
«
a an^ è^
limitata. Sia inoltre^ {^ bibn una^ successione^ decrescente e infinitesima^ , cioe
' fiim
ben (^0). h -^ io
Allora la^ serie^
ET an^ b.^ nn converge^ . vi =D Corollario (^ criterio^ di^ Leibniz^ ) :^ sia 26, , una successione^ decrescente^ e^ infinitesima,^
cioe
' ① bn.ir^ E^ bn^ An
