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Matematica generale

1° anno di Economia Aziendale

Frazionamento A, Prof. Cristina Campi

Appunti di Camilla Casassa

1) INSIEMI E FUNZIONI

DISEQUAZIONI

di

II

GRADO

Athte

O

il in

go

in

go

II

axtbato 20

ambito 20

HER attbaczo sempre

TEX U XIX ATAC

O

attbaceo mai

fa Xhoan

to

AtbacEO

XE

XE Xe

attbacco

mai

verificata

ahtbaceo

EX

POTENZE

an.am

gnam

4124

amm

a

hanno

5

In

4

B

an

5

51

ah_Fa

Tae

b brea

se n

è

pari

e b

o

se n

è

dispari a

DER

INSIEMI

Iiii

L

Ueinione

AUB

ottica

oppure

cob

E

non

appartiene

A

intersezione

A

AMB

C LEA

e CEB

A B

C

contento

I

differenza

A

B e LEA

e

fb

BIA CI

LEB

e

CEA

E

contenuto

o uguale

NUMERI

NATURALI

NON

IN

0,123,

NUMERI INTERI

E E

3 2

NUMERIRAZIONALI

O

Q

Etcpott

genio

con

pea

primifra

loro

NUMERI REALI

R

ceco

che

Immerineati

ESTREMO SUPERIORE

Inferiore

Sia A

ER

I

SUP

Al

se A

ammette maggiorante

chiamiamo

estremo

superiore

il

più

piccolo di essi sia AER

se A ammette

minorante chiamiamo est

infiggipifanddi

essi

MASSIMO MINIMO

sia AIR

Se

sup

A

EA

vuoldire che

A

ha un

massimo

fsup

all

Se

IIFA

diciamo che A

ha un

mine

f

inf Al

FUNZIONE

legge

dominio

codominio

YIYIIILIIYEGIt.LI

di

partenza

accalchiamato

dominio

che

associamo

del

dona

un unico

elemento

del

codominio

Izjum

Chiamiamo

immagine

di una

finzione

il

sottoinsieme

del

codominio

Imf

E B

che

contiene

Fine

sono

immagintumitfunzione

f

GRAFICO

di una

FUNZIONE

Sia f A

B

definiamo

gratin di

f

if

at

Gfl

a

bi

e A B t.c.seA

e b

Fiat

1

a

a

sa

Composizione

di funzioni

a

g

FAI

go

f

Al

INIETTIVITÀ

Sia f

A

B

F

si dice

iniettiva se

tu

x

e A

fini

far

I

si

Es

F

RIR

FAI

X

è iniettiva

F

01

IR

FAI

X

è

iniettiva

SURGETTIVITAYSORIETTIVITÀ

Sia

f

A

B F si dice surgettiva se

the B

Jae A

t i

fiale

b

tutti

gli

elementi

del

codominio sono raggiunti da

almeno un

elemento del

dominio

Im

FI

B

Es F

R

R

FAI

X

è

suvgettiva

Na

f

IRI

o to fai

X

è

surgettiva

si

i

BIGETTIVITÀ

Sia F A

B F

iniettiva e suugettiva

allora diciamo

che

f è bigettiva

FUNZIONE

INVERTIBILE

Sia f A

B bigettiva

allora f

è

invertibile

I una

funzione cheindichiamo con

f

e

I

No ti

FIFTH

X

e f

Fall

X

FIFÌ si dice

pari

se

è simmetrica

rispetto

l'assedelleordinate tasse

y

Fat fi

F A B si dice

dispari

se

è

simmetria rispetto all'originetasse x

l

iI

Jeaviustenti

MONOTONIA

sia

f A B F

si dice

strettiteite monotona

se

f è

strettamente

crescente

o Fé

strettiteite

decrescente

A

f A

B

è

strettitette

crescente

a

A se

tu ke

A tir Xix

finte

fin

if

F A

B

è

strettitette decrescente

sua

se

tu ke

A tir

Xix Fini

fini

N.B

Sia f A

B te F

è

strettamente monotona

su

A

allora

f

è iniettiva

IASI

re 0

re

E

p

a

eh

pig primi

fra loro

fate

i

fra

91

0

Perché è

denominato

P

dispari imiti

K

NINÌ

1

9

dispari

domlflfI.hu

fIjR

st

Ip

pari

imh

lo.to

a

9 pari p

dispari

dom

fi

o

to

imiti

o to

INVERSA della FUNZIONE

POTENZA

MEI

fine

è A

è

necessario definire

bene il

dominio

alon

re

p

a

eh

pig primi

fra loro

9

dispari

P

dispari

ftp.YYIIppaviqyff

co.tn

fo

g

pari

p

dispari

dom

tal

o tal

imiti

o tal

caso

2 re

E

pig

eh

primi

tua loro

9

dispari

P

dispari

imitate

don

HYRx

Ip

paui

ftp

otolegggy

9 Pari P

dispari

domini lo.to

imiti

o

tot

FUNZIONI

TRIGONOMETRICHE

Livonferenza di

centro

0,

e

raggio

E

Ion

è

una

funzione

iii

II

o

g

In

90 usoX

iI

III ma

sin'O

cos 0 1

uguaglianza

fondamentale

della

19

Itri

trigonometria

sino_I E

teorema

di

Pitagora

circonferenza

goniometrica

Aso E

E

sin e cos sono

funzioni periodiche di

periodo

21T

Sin Ztt

1

10s

Ht

2h1 costa

siate

O

sin

1 Sinti

al

Fhl

Sinf

domIFI R

imiti 1,

periodico

dispari

senktsenixtz.hn

VÌ

non

inventinesette

senti

domiti

1,

iii

iii

dispari avrsenale

avisenta

a

FAI

cosi

domiti R imiti

1,

pari

te

periodico

a

fhl

avco.sk

imiti

o a

Sho

Ii

domtl f.gg

ne dispari

ne

pari

FUNZIONETANGENTE

1hAM

III

domih.LY

fIIfi

periodica

tgh

tghtktldisparitgi

xl.SI If

tqixl

if

è

μ mai

non

è

invertibile

neldome

a

fa svaghi

Non periodica

dispari

monotonacrescente

1

Ìfj

invertibile

domi RIKER

te

Senti

O

RIGHT KEE

in

FIER

in

ftp.I

dispiace

aah

g

domi

R

imfi lo.it

Non

periodica me pari

ne

dispari

Monotona decrescente invertibile

Definizione

di

successione

a termini

positivi

Sia

fan

no

una

successione

è

detta

aterminipositivi

se

su

o tre

negativi

Definizione

di

successione monotona

Sia

an

non

una

successione

è

detta

strettamente monotona

se

è

strettamente

crescente

antiZan

then

o

Fenton

della

successione

strettittente

decrescente

anne

an the

SUCCESSIONI

per

RICORRENZA

Definizione

an

non

è

una

successione definita

per

ricorrenza se t una

funzione

FIR IR

t.r.sn fian

una

volta

fissato

a

sia after

ther

E E

iet

Definizione

di

progressione

aritmetica

P è una progressione

aritmetica

di puntoiniziale

de ragione r se

è così

definita

Po a

III

Panef Pnl

Fi

III

B

ratuitreater

reato

Definizione

di progressione

geometrica

Pn

è

una progressione

geometrica

di

punto

iniziale d

e

ragione

r se è

definita

per

ricorrenza

Po a

Pune fan

III

ftp.ar

PROPRIETA ASINTOTICA

di una

SUCCESSIONE

Sia

p

una

proprietà

di

una

surressione

monotonia

positività negatività

si

dice

che

per

su

non

valeche

proprietà

p

asintoticamente definitivamente se

puote

tu

se

puote

da

un

certo

punto in

poi

Esempio an

naan

an

N R

è

positiva No

20

07

0

a

as sta

so

2) LIMITI, CONTINUITÀ, DERIVATE,

DIFFERENZIALI E STUDIO DI FUNZIONI

LIMITE FINITO

di una

SUCCESSIONE

Sia an una

successione

Diciamo

che

Ling

an

LER

se te o tu

eh t.ci Ian Lice

tu

he

LIMITE

INFINITO

di una

SUCCESSIONE

Sia an una

successione

Sia

fig

an

to

successione

diverge

a

tal

teso In

eh t.ci

an

e tu

ne

Sia

an

una

successione

Sia

fig

an

co

successione

an

diverge a 0

teso In

eh f c anc e tu

ne

NUMERO

di

NEPERO

fuga att

e ER numero di Nepero

an

att

loge la

e 3

Teorema sull'unicità

del limite

Sia

an

una

successione

Se

fig

an

Iffhs

allora

il

limite

è

unico

teorema

sul

limite

di

successioni

monotone

Sia

a

una

successione

monotona

inescente

decrescente

allora

fig

an

7

Sia

an

monotona crescente

flats

n L

se

an

è

limitata

fig

an to

se

an

è

illimitata

Sia an

monotona decrescente

Lao

n L

se

an

è

limitata

Gigant

o

se

an

è illimitata

2 b

fine

fate

a te

o

Ise

o

t.c.tk

c E

Heth Se

tal

21

fine

fai

lek te

o

J

se

o te

Ital

e

e

m

mette

s

KE Xp Se tool

uscita

Ss

torse

Ldl fine fai

7

se

non si

verifica

nessundei casi

precedenti

LIMITE

per

RESTRIZIONE

Sia f

X IR XI R Xo punto

di

accumulazione

per

X

Se I

ftp.frxl

l

allora

I

ftp.fiakl

È

con

Aix

per

cui to è

punto di

arunniazione Il

devo

farei limiti

flatf

ristretta

ad A

Singolarmente il limite

destro

1h

e

sinistro

i

possono

esistere

ma non

esiste

il limite

complessivo

TEOREMA della

PERMANENZA

del

SEGNO

se

I

Gg

FA

l ER

se e 0 I

un

intorno

di X Ec

intorno

diXo

al

O

in

questo

intorno

tos'È

No

S Tots

se lo un

intorno

di

Xo

te

falco

E a

questo

intorno

CRITERI

SUI

LIMITI

Fg

X

IR

XI R

Xo

punto di

accumulazione

per

X e

sia

fifth

l

e

defy

9h

dont

doing

allora

J un

intorno

bucato

di

to

N

tic

fai

ga

VEUX Ve

x 8 x_

St'ho

è

Fft

TEOREMA

dei

CARABINIERI

ritenio del

confronto

o

punto

di

accumulazione

per

X

f

g

h X

IR e supponiamo

che

fine

fa

e

fi

hai

CER

1 Se I un

intorno bucato

V di xo

tir

Fate

ghe

hai

Eva

allora

ftp.gixi

l

it

te

21

Se le too e I un

intorno

V di

to

te

fai gri

Wella

Et

9h

to

Se

le co e I un

intorno

V di to

t.ci

ghe

fai

Went

II

9h

a

PROPRIETÀ

dei

LIMITI

11

LIMITE

della

SOMMA

Sia Xo

di

accumulazione

per

X domifindomial

Fateli

e

ftp.gkl

dldek

allora I

fine

thigh

ltd

2 LIMITE

del

PRODOTTO

Sia Xo

di

accumulazione

per

X domifindom

al

fate

l e

ftp.gkl

dldek

allora I

fine

thigh

lid

COROLLARIO

Se e

e tu

intorno

di

Xo

ti

1gal

o

exniuifx.tl

ftp

e

allora

ftp.FH.ghl

O

21 Se

le

too

e

I

0 intorno di

Xo

t

a griso

txexnmsx.tl

7

fa

fin

9h

I

dgrxlcotxexniuisx.lt

I

ftp.fhgkt

fg

LIMITI

NOTEVOLI

Gg

Sinf

E

E

E

i

Enamel

e

Ishak

G

M

I

Giganti

e

log

b f

ateb

ad b

lat

al

E

È

use

d ti

E

TI

msn.vn

tI Ii

è

t.EE

ER

Itheehnheeenth FIFÌ

CONTINUITÀ

Sia

f

X R

F si dice

continua

su X

se

IX EX

t.it

Xo

è

punto di

accumulazione

per

X

ftp.fhl

fixd

I

non è

punto

di

acumulazione

per

X f è

continua

in

to

i

punti

isolati

in

cui la fine

è definita

sono

punti

in cui la

fine

è

continua

IB

F

per

essere

continua

in un punto

deve essere

definita

in quel

punto

IB

non

è vero che

una

funzione

è

continua

se

per

disegnare

il grafico

non

stacco

la

penna

dal foglio

TEOREMA ESISTENZA

degli

ZERI

Sia f

b

R

F

continua su

fa

b

feci

ta

b

Il

Elab f s

b Rt

c F

continua se su

ftp.flblco

allora

sab

tela bit

C

FIX

O

i

ii

se

fell

a

b e

faitibi

o

non possiamo

escludere

TEOREMA

del

PUNTO FISSO

f 0

0,

f surgettiva Fel

0,

allora

It e

o 1

t

e

è

detto

punto

fisso

Iii

Yi

P

it

TEOREMA

dei

VALORI INTERMEDI

fila

b c

d fell

fa

b

f

surgettiva altus

tre

c

d

tela

b

t.i.fr

y

iffy

feel

y

il

teorema

ci dice

che ne 7

almeno

uno

INFINITI

e

INFINITESIMI

confrontare localmente

due

funzioni

fag

in

un

intorno

di Xo

ftp

Definizione

di

funzione

infinitesima

per

to

Sia

f A

B

e

Xo punto

di

accumulazione

per

A

ho

ERU

tofu

o Se

fine

fai

o

f si dice

infinitesima

per

sto

Definizione

di

funzioneinfinita

per

Xoxo

Sia f A

B

e

Xo

punto

di

accumulazione

per

A

koeRutto

uf

o

Se

fine

fai

to

f si dice

infinita

per

sto

Definizione

dei

simboli di

Landon

Siano fa

g

due

funzioni

definite

in un

intorno eventualmente

bucato escluso

di to

Sia

gatto

Va

nell'intorno di

Xo

in

cui le funzioni

sono ben

definite

1

Diciamo

che

f

è un a piccolo di

g

per

xoxo

f

org

se

ftp.f

0

E

sia

tu

x f

oh

per

o

fig

o

Diciamo

che

f è

asintoticamente equivalente a

9 per

Xo

se

ftp.f

1 fngpenX

Xoes

sinxnx

per

o

fine

si

3 Diciamo che

f

è

un O

grande

di

g

per

xoxo

se

ti

o

t.ci

fklicclqail

Ex

nell'intorno

di

Xo

f

Gigi

per

X X

Siano t e

g

due

funzioni infinitesime

per

xoxo

Diciamo che

a f

è

infinitesima

di

ordine

superiore a

9

per

xoxo

se

fine

IIII

bl

f è

infinitesima

di ordine

inferiore

a

9

per

xoxo

se

ftp.ft

tco

4

f è

infinitesima

di uguale

ordine

per

Xo

se

fy.fi

CERl

o

di

f

e

g

sono

infinitesime di ordine non

confrontabili

se

ftp.ftf

I

LIMITI

figo

GLIFO

de

Rt

il

logaritmo a

o

più

lentamente

di

ogni

potenza del

suoargomento

figo

to taek

l'esponenziale sto

più

velocemente

di

ogni

potenza del

suo

argomento

DEFINIZIONE DERIVATA

Sia

f A B F

continua Se I finito il limite del

reparto

incrementale

per

h 0

fiom

froth fai

h

diciamo

che f

è

derivabile

in

Xo

e

dichiariamo

la

derivata

con t'ho affito

HIFI

9

derivata

difine

f'ko

è

il

coatti

angolare

dellaretta tangente al

grafico

della

finzione

nel

punto

hoFrol

Una

funzione

puo

essere

derivabile

in

tutti i punti

in

cui è

definita tramite

uno

F A B si dice

derivabile

se

è

derivabile

Hea

Punti di

NON

derivabilità

F A

B

continua

su

A

consideriamo

un punto

Xo

e a

1

Se

ftp.t

fini

e

ftp.t

x sono diversi ma

entrambi

finiti Xo

è

detto

puntoangoloso

E Fx Al

è un punto

angoloso

2 Se

fine

fini

e

fine

f x sono

infiniti

entrambi con

segno

uguale

Xo

è un

punto di

tangenza

verticale

E

FAI Exo

O è un

punto di

tangenza

verticale

3 Se

fine

fix

e

ftp.fixi

sono

entrambi infiniti ma con

segno

opposto

Xo

è

un

punto

di cuspide

e fate

xe

cuspide

Iii

DERIVATE

di

FUNZIONI

ELEMENTARI

1

FA

X

FAI

AX OER

Dim

E Futti G

fig 1

HII

a

Krhin

E

E

È

e E

HT È

a

2

fix

a a 0 a 1

f'Al

a

lula

DIM

fino

MII

Gg

st.FI

Gg

latte

list

of

fai

e

f'al

è

31 fai log in

l'H

I

log lel

Oss

fra lupi

l'H

I

41 tale

senx

f'al

cosa

si

fa

cosa

f'al

sen x

DERIVATE

di

ORDINE

SUPERIORE

Sia f A

B

continua

e

derivabile su A

e sia

f

la

sua

derivata

Se

f

è

continua

su A

posso

calcolare

la

derivata seconda

f

Hot

fig

filthy

ALGEBRA

delle

DERIVATE

1 Siano f e

g

due

funzioni

derivabili

in

to

f

finito

il

limite del

rapporto

incrementale

fine

E thoth

ft gl'Hot f'Holt

9

Hd

Dire

Iftgl'hotegggittalkothittalkoleggixothitakothlitholtakol e

gg

frothi

tholgixothi

ah

fi

thoth

tho

fine

9kt

9kt

Fixitg'ad

21 f

gl'Hot

f'ad gixoltfh.iq

ho

Dim

Hairy

f

talk.tt

tglkdeqgtrxotni

aknthl

tharxd

fgtrxothigkothltholaixofittadakoth

thland

g

go.thctrxothl

fdthxdlakoith

ak.it

e

fin

gkthictpothl

tx.lt

gthdlakohh

akdleqrdfirxdtfh.giixd

f

ad If

e

a

derivabili

in Xo

gatto

f

Aol

e

t'Kolokol 9 rotta

9

ixI