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La statistica è una disciplina che permette di analizzare la realtà attraverso metodi quantitativi.
Può essere applicata in vari ambiti, come:
- Economia (analisi del mercato, prezzi, cambi di valuta)
- Aziende (vendite, marketing, produzione)
- Società (analisi demografiche, comportamenti dei consumatori)
- Scienze biologiche (studi medici, epidemie).
La statistica studia i fenomeni collettivi, cioè quelli che coinvolgono più individui o unità e che
possono essere descritti tramite numeri.
QUANDO UN PROBLEMA DIVENTA STATISTICO?
Molti problemi reali possono essere analizzati con metodi statistici. Esempio:
- l’analisi delle quote di mercato di un’azienda per capire l’efficacia di una campagna
pubblicitaria.
- Il monitoraggio dei prezzi del cambio di valuta per osservare variazioni nel tempo.
conoscenza statistica significa trattare (osservare) i collettivi (popolazioni, universi, insiemi, unità e
così via).
INDUZIONE da un collettivo limitato (campione) a TUTTA la popolazione di riferimento (universo).
CONCETTI FONDAMENTALI
- Unità statistica: l’elemento base di un’analisi statistica, ovvero l’oggetto su cui raccogliamo
dati, può essere:
- una persona (per studi demografici)
- Un’azienda (per studi economici)
- Una città (per studi geografici)
- Carattere statistico: è la proprietà che vogliamo analizzare sulle unità statistiche e può
assumere diverse modalità in corrispondenza delle diverse unità statistiche del collettivo. Può essere:
- qualitativo (descrittivo, come il genere o la professione)
- Quantitativo (numerico, come il peso o il reddito)
- Modalità: i valori che è un carattere statistico può assumere. Esempio:
- il carattere “genere” a due modalità: maschio, femmina.
- Il carattere “titolo di studio” può avere modalità come: diploma, laurea, dottorato.
TIPOLOGIE DI DATI E SCALE DI MISURA
- DATI QUALITATIVI (mutabili)
- sconnessi: le modalità non hanno un ordine naturale di successione (es. Professione: avvocato,
medico, insegnante).
- Ordinati: le modalità hanno un ordine di successione (livello di soddisfazione: poco,
abbastanza, molto).
- DATI QUANTITATIVI (variabili)
- discreti: numeri interi (numero di figli, pezzi prodotti, voto ad un esame).
- Continui: possono assumere qualsiasi valore in un intervallo (peso, temperatura)
SCALE DI MISURA PER I DATI QUANTITATIVI
- scala a intervalli: NON ha 0 assoluto (es. Temperatura in gradi Celsius).
- Scala di rapporti: ha uno zero assoluto (reddito, fatturato annuo)
RACCOLTA DEI DATI E RILEVAZIONE STATISTICA
- rilevazione totale (censimento): si raccolgono dati su tutta la popolazione.
- rilevazione campionaria: si analizza un sottoinsieme della popolazione, risparmiando tempo e
risorse.
Distribuzione di un carattere e rappresentazione grafica
Quando raccogliamo dati su un insieme di unità statistiche, possiamo organizzarli in tabelle
statistiche, che possono essere:
Semplici: quando consideriamo un solo carattere (es. numero di dipendenti di un’azienda).
Multiple: quando consideriamo più caratteri contemporaneamente (es. numero di dipendenti e
fatturato delle aziende).
Un esempio tipico è la matrice dei dati, dove:
Ui rappresenta le unità statistiche (aziende, persone, ecc.).
Xj rappresenta le variabili statistiche (fatturato, numero di addetti, regione, ecc.).
xij è il valore che la variabile XjX_jXj assume per l'unità iii.
Distribuzione di frequenze
Se vogliamo analizzare come si distribuisce un carattere in un collettivo, possiamo costruire una
distribuzione di frequenze, che indica quante volte una certa modalità compare nel nostro campione.
- Frequenza assoluta (nj)
Indica il numero di volte che una modalità compare.
- Frequenza relativa (fj)
È il rapporto tra la frequenza assoluta e il totale delle osservazioni:
fj=nj/n
- Frequenza percentuale (pj)
È la frequenza relativa moltiplicata per 100:
pj=fj×
Frequenza cumulata
Somma progressiva delle frequenze assolute, relative o percentuali. Si distinguono:
o Frequenza assoluta cumulata (Nj): Nj=n1+n2+...+nj
o Frequenza relativa cumulata (Fj): Fj=f1+f2+...+fj
o Frequenza percentuale cumulata (Pj): Pj=p1+p2+...+pj
Rappresentazioni grafiche 📊
Grafici a barre
- Utilizzati per rappresentare caratteri qualitativi ordinati e quantitativi discreti
- Ogni barra ha altezza proporzionale alla frequenza della categoria
- Se ci sono più categorie affiancate, si possono usare i grafici a barre multipli per confronti.
Es. Distribuzione della popolazione italiana secondo la condizione professionale.
Grafici a nastri
- Variante dei grafici a barre, ma usata per caratteri qualitativi non ordinati
- Le barre sono disposte orizzontalmente
Es. Distribuzione dei dipendenti di un’azienda per area geografica:
Macro
Ripartizione
Numero
dipendenti
Nord 810
Centro 408
Sud 220
Tot. Italia 1.438^0 100 200 300 400 500 600 700 800
Mezzogiorno
Centro
Nord
m igliaia
Grafici ad aree
- Utilizzati per dati quantitativi continui del tempo
- Mostrano l’evoluzione di un fenomeno in un determinato periodo
Istogrammi
- Sono composti da rettangoli adiacenti
- Ogni rettangolo rappresenta una classe di valori (intervallo) con altezza proporzionale alla
frequenza
- Se le classi hanno ampiezza diversa, si usa la densità di frequenza per rendere le aree proporzionali
ai dati.
Es. Distribuzione dei redditi familiari annuali in classi di valore
Distribuzione delle non forze lavoro di 15 anni e oltre in Italia per condizione e per ripartizione geografica. Ripartizione geografica
Casalinghe Studenti Ritirati dal lavoro
Altri
Nord 3.209 1.553 5.322 780 Centro 1.668 844 1.999 446 Mezzogiorno 3.661 1.823 2.689 1. Totale Italia 8.538 4.220 10.010 2.
Fonte: ISTAT (2001), Rapporto sull’Italia, p. 164.
Grafici a torta
- Mostrano la composizione percentuale di un fenomeno.
- L’angolo di ogni fetta è proporzionale alla percentuale dell’attributo
- Formula: 100 :pj=360°:gj Dove pj è è la percentuale e gj è l’angolo corrispondente
Distribuzione degli strumenti di pagamento adoperati da un campione di famiglie italiane.
Strumenti di pagamento ni Bonifici 27 Affitti, spese condominiali 5 Bollette su c/c 57 Pagamento carte di credito 12 Altri pagamenti 27 POS 72 Totale 200
3. Media aritmetica su classi di valori
Quando i dati sono raggruppati in classi, si usa il valore centrale di ogni classe:
cj= (limite inferiore+ limite superiore)/2 poi si applica la formula della media ponderata.
4. Proprietà della media aritmetica
Associativa: la media di un insieme può essere calcolata dividendo i dati in gruppi e facendo la
media delle medie ponderate per le dimensioni dei gruppi.
Traslativa: se si somma o sottrae una costante a tutti i valori, anche la media cambia di quella
costante.
Omogenea: se tutti i valori vengono moltiplicati o divisi per una costante, anche la media
subisce la stessa operazione.
5. Medie Troncate
La media aritmetica può essere influenzata da valori anomali. Per ridurre questo effetto, si possono
usare medie troncate:
Trimmed Mean al 5% → esclude il 2,5% dei valori più piccoli e il 2,5% dei
valori più grandi
Trimmed Mean al 50% → esclude il 25% dei valori estremi
Esempio
Dati: 3,5, 5,6, 8,8, 9,
- Media aritmetica: influenzata dal 150
- Media troncata al 50%... Elimina il 25% inferiore superiore… Calcola la media su 5,6,8,8.
6. Mediana
La mediana è il valore che divide in 2 parti uguali una distribuzione ordinata.
Se n è dispari, la mediana è il valore centrale
Se n è pari, la mediana è la media dei due valori centrali
Esempio:
Dati: 5, 6, 9, 11, 14 → n=5n = 5n= 5 , Mediana = 9
Dati: 5, 6, 9, 11, 14, 18 → n=6n = 6n= 6 , Mediana = (9+11)/2 = 10
7. Quartili, Decili e Percentili
Quartili → dividono la distribuzione in 4 parti:
Q1Q_1Q1 = Primo quartile (25% dei dati)
Q2Q_2Q2 = Secondo quartile = Mediana
Q3Q_3Q3 = Terzo quartile (75% dei dati)
Decili → dividono in 10 parti.
Percentili → dividono in 100 parti.
PRIMO QUARTILE: esima
osservazione
TERZO QUARTILE: esima
osservazione
8. Moda
La moda è il valore che compare con maggiore frequenza.
Unimodale: una sola moda.
Plurimodale: più di una moda.
Se i dati sono in classi, la classe modale è quella con la maggiore densità di frequenza:
Densita =Frequenzaˋ della classe/Ampiezza della classe.
Esempio:
VALORE MODALE: €
MODA: Settore
del Commercio
CLASSE MODALE: 25
- Scarto quadratico medio (deviazione standard)
È la radice quadrata della varianza:
Esempio:
Un’indagine su 200 piccole aziende ha fornito la seguente distribuzione secondo il numero di
dipendenti:
DIPENDENTI 1 2 3 4 5 TOTALE AZIENDE 60 80 30 25 5 200
- Coefficiente di variazione (CV)
Misura la variabilità relativa rispetto alla media:
Osservazioni:
Per distribuzioni con valori negativi e positivi, la media aritmetica non esprime l’ordine di
grandezza effettivo.
Hai il minimo pari a zero ed è il massimo non definito; pertanto, consente il confronto tra la
variabilità di due distribuzioni, ma non sull’intensità della variabilità.
Esempio
In una regione si hanno 9 industrie che hanno installato un dispositivo anti-inquinante di tipo A e altre
9 un dispositivo di tipo B. È stata rilevata la quantità di cenere inquinante che fuoriesce dalla ciminiera
delle predette industrie.
Tipo Quantità di pulviscolo (g/min) (*)
A 69 80 44 52 54 54 86 77 65 B 35 62 43 23 30 28 22 40 25
Calcolar
e s :
Media aritmetica:
Deviazione standard:
Concentrazione: quanto è distribuito un carattere?
La concentrazione misura quanto una risorsa è equamente distribuita tra le unità statistiche.
Le misure di concentrazioni vengono calcolate sulle variabili TRASFERIBILI.
Un carattere quantitativo si definisce trasferibile se ha senso ipotizzare che un’unità statistica possa
cedere tutto o parte del carattere posseduto ad un’altra unità statistica.
Esempio
Persone
Somma
posseduta
(A)
Somma
posseduta
(B)
Somma
posseduta
(C)
1
a persona 5.000 0 0
2
a persona 5.000 1.000 0
3
a persona 5.000 1.000 0
4
a persona 5.000 3.000 0
5
a persona 5.000 3.000 0
6
a persona 5.000 4.000 0
7
a persona 5.000 23.000 35.
Totale 35.000 35.000 35.
Ordiniamo le N quantità osservate Xi in modo che: x 1 x 2 ... xi ... xn
Ammontari accumulati:
A 1 = x 1
A 2 = x 1 + x 2
................................
Ai= x 1 + x 2 + ... + x i Ai: ammontare di carattere posseduto dale unità i
più povere
................................
An= x 1 + x 2 + x i + ... + x n
Caso A) EQUIDISTRIBUZIONE
Una qualunque frazione di unità dovrebbe possedere la medesima frazione del
carattere statistico trasferibile.
A 1 = 5.
A 2 = 5.000 + 5.000 = 10.
An=7= 5.000+5.000+…+5.000=5.0007 = 35.
i = 1, 2, 3, … 7
F 1 =
; F 2 =
; … F 7 =
Q
i
= A
i
/A
n
: corrispondente frazione di ammontare
F
i
= i/ n: frequenza relativa cumulata delle prime i unità
RAPPORTO DI CONCENTRAZIONE
Le differenze ( Fi – Qi ) possono essere sintetizzate nel Rapporto di concentrazione di Gini (R):
dove:
Casi limite:
R = 0 Equidistribuzione
R = 1 Massima concentrazione
Esempio:
Persone Somma posseduta
Ai (^) Q i=Ai/An F i = i /n
1 0 0 0 0, 2 1.000 1000 0,0 29 0, 286 3 1.000 2000 0,057 0,42 9 4 3.000 5000 0,143 0, 5 3.000 8000 0, 229 0, 6 4.000 12000 0,343 0, 7 23.000 35000 Totale 35.000 0,80 1 3 , 000
Indici di forma: simmetria e asimmetria
Rapporto di Gini:
