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ESERCIZI
(Gli esercizi con (*) sono pi `u avanzati)
1. Calcolare le derivate parziali prime e seconde della funzione
f (x, y) = x^3 y − 4 x^2 y^4 + xy^3 − xy + 2
2. Per le seguenti due funzioni:
f 1 (x, y) =
x^3
y
− 2 x^2 y f 2 (x, y) = log(y + x^2 + 3 )
(a) Determinare il dominio Df
(b) Calcolare le derivate parziali prime
(c) Calcolare le derivate parziali seconde
(d) Valutare f , ∇ f (gradiente), H f (matrice Hessiana) nei punti (1, 2) e (0, − 1 )
3. Determinare i punti stazionari, se ne esistono, delle sequenti tre funzioni:
f 1 (x, y) = x^3 + xy^2 f 2 (x, y) =
xy^2
x^2 + 1
f 3 (x, y) = log(x + y^2 )
4. (*) Considerando la restrizione all’asse x e all’asse y, ma senza calcolare derivate,
determinare, per ciascuna delle seguenti funzioni, se il punto (0, 0) pu `o essere un
punto di massimo (o minimo), oppure no:
f 1 (x, y) = x^4 + x^2 + y^4 + y^2 + xy f 2 (x, y) =
x + y
x^2 + y^2 + 1
f 3 (x, y) = 8 x^2 y^2 − x^4 − 2 y^4
SOLUZIONI
- Derivate parziali prime
f (^) x′ = 3 x^2 y − 8 xy^4 + y^3 − y f (^) y′ = − 16 x^2 y^3 + 3 xy^2 + x^3 − x
Derivate parziali seconde
f (^) xx′′ = 6 xy − 8 y^4 f (^) yy′′ = − 48 x^2 y^2 + 6 xy
f (^) xy′′ = f (^) yx′′ = − 32 xy^3 + 3 y^2 + 3 x^2 − 1
- Funzione f = f 1. Dominio: D = {(x, y) : y 6 = 0 } (piano senza asse x). Derivate parziali:
f (^) x′ = 3 x
2 y − 4 xy f (^) y′ = − x
3 y^2 − 2 x^2
f (^) xx′′ = 6 x y − 4 y f (^) yy′′ = 2 x
3 y^3 f (^) xy′′ = − 3 x
2 y^2 − 4 x
Gradiente e matrice Hessiana in un generico punto (x, y):
∇ f (x, y) =
3 x^2 y − 4 xy
− x^3 y^2 − 2 x^2
H f^ (x,^ y) =
6 x y − 4 y − 3 x^2 y^2 − 4 x
− 3 x^2 y^2 − 4 x 2 x^3 y^3
Gradiente e matrice Hessiana nel punto (1, 2)
∇ f (1, 2) =
H f (1, 2) =
Gradiente e matrice Hessiana nel punto (0, − 1 )
∇ f (0, − 1 ) =
H f (0, − 1 ) =
Funzione f = f 2. Dominio: D = {(x, y) : y > −x^2 − 3 } (regione di piano sopra la parabola di equazione y = −x^2 − 3, parabola esclusa); notiamo che entrambi i punti (1, 2) e (0, − 1 ) stanno nel dominio. Derivate parziali:
f (^) x′ = 2 x x^2 + y + 3 f (^) y′ =
x^2 + y + 3
f (^) xx′′ = 2 (−x^2 + y + 3 ) (x^2 + y + 3 )^2 f (^) yy′′ = −
(x^2 + y + 3 )^2 f (^) xy′′ = − 2 x (x^2 + y + 3 )^2 Gradiente e matrice Hessiana nel punto (1, 2)
∇ f (1, 2) =
H f (1, 2) =
Gradiente e matrice Hessiana nel punto (0, − 1 )
∇ f (0, − 1 ) =
H f (0, − 1 ) =
Restrizione all’asse y: h(y) = f (0, y) = y y^2 + 1
Osserviamo che g( 0 ) = 0, mentre g(x) > 0 per x > 0 e g(x) < 0 per x < 0. Risulta chiaro che x = 0 non e n´e di minimo, n´e di massimo per g. Possiamo quindi concludere che (0, 0) none certamente n´e di minimo, n´e di massimo. Il grafico (tramite ezsurf) ci d`a conferma.
Funzione f = f 3. Restrizione all’asse x:
g(x) = f (x, 0) = −x^4
Restrizione all’asse y: h(y) = f (0, y) = − 2 y^4
E’ evidente che x = 0 e y = 0 sono punti di massimo per g e h, rispettivamente. Dunque, (0, 0) pu o essere un punto di massimo per f , ma certamente non di minimo. Il grafico (tramite ezsurf) ci mostra in realta che (0, 0) non `e nemmeno di massimo.
