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ESERCIZI
(Gli esercizi con (*) sono pi `u avanzati)
1. Trattando separatamente i punti interni a S dai punti sulla frontiera, risolvere:
min 3x^2 + y^2 + 2 xy − 10 x − 6 y + 11 soggetto a x, y > 0, x + y 6 4
e il relativo problema di massimo. (Risolvere i problemi senza stabilire un’eventua-
le convessita/concavita della funzione obiettivo.)
2. Riducendosi a un problema di ottimizzazione in 1 variabile, risolvere
max x^4 − 3 y^4 + x^2 y^2 soggetto a x^2 + y^2 = 1
3. Stabilire se la funzione
f (x, y) = x^3 − 6 xy + y^3
e convessa/concava (o nessuna delle due) su ciascuno degli insiemi: `
S 1 = {(x, y) : x, y > 0 } S 2 = {(x, y) : x, y > 1 } S 3 = {(x, y) : x, y 6 − 1 }
4. Data la funzione:
f (x, y) = x^3 + 2 xy + y^2 − x
(a) Determinarne i punti stazionari, se ne esistono
(b) Dire se f e convessa o concava su tutto` R^2
(c) Risolvere il problema
min f (x, y) soggetto a x > 1/
5. (*) Data una generica funzione di Cobb-Douglas
f (x, y) = A x α y β
con A, α , β > 0, e l’insieme S = {(x, y) x, y > 0 }, verificare che
(a) Se α + β 6 1, allora f e concava su` S
(b) Se α + β > 1, allora f non `e concava, n´e convessa su S
6. Risolvere il problema
max 6K2/3^ L1/6^ − 8 K − L soggetto a K, L > 0
(per l’interpretazione economica delle variabili K e L e della funzione obiettivo,
vedere l’Esempio 10.3 a pag. 337 del libro di testo)
SOLUZIONI
- L’insieme S = {(x, y) : x, y > 0, x + y 6 4 } e il triangolo di vertici ` (0, 0), (4, 0), (0, 4), inclusi i tre lati. Trattandosi di un insieme chiuso e limitato, ed essendo la funzione obiettivo
f (x, y) = 3 x^2 + y^2 + 2 xy − 10 x − 6 y + 11
continua, per il Teorema di Weierstrass entrambi i problemi (min/max) hanno soluzione. Per determinare i punti stazionari, dobbiamo risolvere il sistema { f (^) x′ = 6 x + 2 y − 10 = 0 f (^) y′ = 2 y + 2 x − 6 = 0
L’unica soluzione e x = 1 e y = 2 e osserviamo che il punto stazionario (1, 2) appartiene a S. Il bordo di S e composto da 3 segmenti:
- Segmento da (0, 0) a (4, 0), sul quale y = 0 e la funzione f vale
f (x, 0) = 3 x^2 − 10 x + 11 0 6 x 6 4
Il minimo `e raggiunto nel punto (5/3, 0), il massimo nel punto (4, 0)
- Segmento da (0, 0) a (0, 4), sul quale x = 0 e la funzione f vale
f (0, y) = y^2 − 6 y + 11 0 6 y 6 4
Il minimo `e raggiunto nel punto (0, 3), il massimo nel punto (0, 0)
- Segmento da (4, 0) a (0, 4), sul quale y = 4 − x e la funzione f vale
f (x, 4 − x) = 2 x^2 − 4 x + 3 0 6 x 6 4
Il minimo `e raggiunto per x = 1, ovvero nel punto (1, 3), il massimo per x = 4, ovvero nel punto (4, 0)
Ricapitolando, abbiamo 4 candidate soluzioni al problema di minimo, ovvero:
(1, 2) (5/3, 0) (0, 3) (1, 3)
e 3 candidate soluzioni al problema di massimo, ovvero:
(1, 2) (4, 0) (0, 0)
Calcolando
f (1, 2) = 0 f (5/3) = 8/3 f (0, 3) = 2 f (1, 3) = 1 f (4, 0) = 19 f (0, 0) = 11
concludiamo che (1, 2) risolve il problema di minimo e (4, 0) quello di massimo.
(c) Se x > 1/2, vale 12x − 4 > 2 > 0 e inoltre f (^) xx′′, f (^) yy′′ > 0. Dunque la funzione f econvessa sull’insieme S = {(x, y) : x > 1/2}. Il punto stazionario (1, − 1 ) appartiene a S ede dunque soluzione del problema di minimo. Osserviamo che l’altro punto stazionario non appartiene a S.
- La matrice Hessiana della funzione di Cobb-Douglas
H f (x, y) =
α ( α − 1 )x α −^2 y β^ αβ x α −^1 y β −^1 αβ x α −^1 y β −^1 β ( β − 1 )x α y β −^2
a b b c
Essendo x, y, α , β > 0, a ha lo stesso segno di α − 1, c ha lo stesso segno di β − 1 e
ac − b^2 = αβ ( 1 − α − β )x^2 α −^2 y^2 β −^2
ha lo stesso segno di 1 − ( α + β ). Se α + β 6 1, allora ac − b^2 > 0 e, dovendo essere α , β 6 1, e anchea, b 6 0. Dunque, in questo caso fe concava. Se invece α + β > 1, allora ac − b^2 < 0 e f non `e concava, n´e convessa.
- Sappiamo che la funzione obiettivo
f (K, L) = 6 K2/3^ L1/6^ − 8 K − L
e concava su S = {(K, L) : K, L > 0 }, in quanto somma di una funzione di Cobb- Douglas (6K2/3^ L1/6) con _α_ + _β_ = 2/3 + 1/6 6 1, e di una parte lineare (− 8 K − L), che non influisce sulle derivate seconde. Basta dunque ricavare un punto stazionario, che sara automaticmente soluzione. Dobbiamo risolvere: (^) { f (^) K′ = 4 K−1/3^ L1/6^ − 8 = 0 f (^) L′ = K2/3^ L−5/6^ − 1 = 0 ovvero (^) { L1/6^ = 2 K1/ K2/3^ = L5/ Ricaviamo facilmente K = 1/32 e L = 1/
