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Distribuzioni:
Normale: Funzione di densit`a:f (x, μ, σ) = (^) σ√^12 π e−^
12 (x−μ)^2 σ^2
X ∼ N (0, 1). Allora Y = X^2 e una χ^2 con un grado di liberta. In generale, la normale `e chiusa rispetto alle trasformazioni lineari. Ad esempio, Y = aX + b, con X ∼ N (μ, σ^2 ), abbiamo Y ∼ N (aμ + b, a^2 σ^2 ).
Altro esempio: somma di normali. (X 1 , ..., Xn) sono N (μi, σ^2 i ). Allora
Y =
Xi `e N (
μi,
σ^2 i ).
Standardizzazione: Se X ∼ N (μ, σ^2 ), allora X−σ μ= Z `e N (0, 1).
Distribuzione Uniforme La usiamo nelle situazioni in cui il risultato di un esperimento e un numero reale, compreso in un dato intervallo, e non si hanno altre informazioni. La funzione di densita f (x) vale (^) b−^1 a se a ≤ x ≤ b e 0 altrimenti. La funzione di ripartizione
F (x) e nulla prima di a, vale xb−−aa con a < x < b, ede 1 dopo b.
E(X) = a+ 2 b
V ar(X) = (a−b)
2 12 Distribuzione esponenziale f (x, λ) = λe−λx^ per x > 0, ed e nulla altrove. F (x) = 1 − e−λx^ per x > 0. Si usa per calcolare i tempi aleatori di attesa. Ha la proprieta di assenza di memoria. Il tempo di attesa e inversamente proporzionale al valore lambda. Se abbiamo n esponenziali i.i.d., il minimo di questi esponenzialie ancora esponen- ziale, con λ′^ =
λi. Se X Exp(λ), `e anche una Gamma(λ, 1) E(X) = 1/λ V ar(X) = 1/λ^2.
Distribuzione Gamma f (x, ν, λ) = λ
ν Γ(ν) x
ν− (^1) e−λx (^) per x, ν, λ > 0.
La somma di n Gamma, con λ diversi e stessi ν, `e una Gamma ∼ (
λ, ν). Se λ = 0.5 e ν = g/2, e una χ^2 con g gradi di liberta. E(X) = νλ V ar(X) = (^) λν 2.
Bernoulli La usiamo in prove dicotomiche, cio`e un esperimento con soli due risultati possi- bili. P (X = x) = p se x = 1, e vale 1 − p se x = 0.
P (X = x) = px(1 − p)^1 −x^ con x = 0, 1 La somma di bernoulli `e binomiale. E(X) = p V ar(x) = p(1 − p)
Binomiale In una sequenza di n prove dicotomiche indipendenti e sotto le stesse condizioni. La binomiale ci da il numero di volte che quest’evento si verifica. X ∼ Bin(n, p), n numero delle prove, p probabilit`a di successo. P (X = k) = (^) k!(nn−!k)! pk(1 − p)n−k, con k positivo e minore di n.
F (x) =
∑x j=
n! j!(n−j)! p
j (^) (1 − p)n−j (^).
E(X) = np V ar(X) = np(1 − p)
Geometrica Numero di prove da effettuare in una sequenza illimitata di prove bernoulliane per avere il primo successo. E’ priva di memoria. P (X = k) = (1 − p)k−^1 p con k = 1, 2 , ... P (X > h) = (1 − p)h E(X) = 1/p V ar(X) = (^1) p− 2 p Pu`o anche essere utilizzata come numero di insuccessi prima di avere il primo successo. In questo caso: P (X = k) = (1 − p)kp, con k = 0, 1 , 2 ... E(X) = 1 −pp
Poisson E’ il numero di eventi registrati in un ambito circoscritto di tipo temporale, spaziale o concettuale. Se X ∼ P oi(λ), P (X = k) = λ
k (^) e−λ k! con^ k^ = 0,^1 , ...^ e lambda positivo. E(X) = V ar(X) = λ
Catene di Markov Una catena e irriducibile quando esiste un’unica classe di stati, cioe tutti gli stati intercomunicano tra di loro. Una catena e periodica di periodo p se pe il MCD dei passi necessari per tornare al periodo di partenza. Se tutti gli stati hanno periodo p = 1, la catena `e
