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Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e
iperbole.
Teoria in sintesi
Queste curve si chiamano coniche perchÈ sono ottenute tramite líintersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l'equazione algebrica che le rappresenta nel piano cartesiano.
LA CIRCONFERENZA
La circonferenza Ë il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C , detto centro. Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse. La distanza fra ognuno dei suoi punti e il centro Ë il raggio della circonferenza.
Note le coordinate del centro C ( α ; β ) e la misura r del raggio ,
l'equazione della circonferenza Ë allora
( x −α )^2 +( y −β)^2 = r^2
(equazione canonica)
Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la propriet‡ comune che
PC = r ,cioË 2 2 PC = r
Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ottiene allora
PC = ( x −α )^2 +( y − β)^2
Elevando al quadrato e sostituendo al posto di
2 PC (^) la sua misura si ottiene allora l'equazione
cercata.
Esempio
( x − 2 )^2 +( y + 1 )^2 = (^9) Ë líequazione della circonferenza con centro C(2; -1) e raggio 3.
Líequazione puÚ anche essere scritta nella forma
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 , (equazione generale)
dove a, b e c sono legati alle coordinate del centro C^ (^ α;^ β) ed al raggio dalle seguenti relazioni:
^ −
2 2 2 2 2
c r
b
a
c
a b r
b
a
Esempio
x^2 + y^2 + 2 x − 4 y + 1 = (^0) Ë líequazione della circonferenza con centro C (-1,2)
e raggio r 2 = 1 2
Si segnalano i seguenti casi particolari
a=0, il centro appartiene allíasse y: b=0, il centro appartiene allíasse x; c=0, la circonferenza passa per líorigine degli assi.
C(xc ; yc ) = (-a/2 ; -b/2)
r
2 = (-a/2)
2
2 ñ c = (xc)
2
2 ñ c
Eq. della circonferenza: (x - xc)
2
2 = r
2
Esempio 4 Determinare l'equazione della circonferenza che passa per A(0,3), B(-4,1), C(1,1).
Basta imporre il passaggio per i punti dati, sostituendo le loro coordinate nell'equazione canonica. Si parte, quindi, sostituendo nell'equazione canonica: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 le coordinate dei tre punti dati. Si ottiene allora il sistema:
che fornisce come soluzione:
Pertanto, la circonferenza cercata ha equazione: x^2 + y^2 + 3x - 2y - 3 = 0
Esempio 5 Determinare l'equazione della circonferenza che passa per A(3,1), B(0,-2) e avente ascissa del centro in 2. Basta imporre il passaggio per i punti dati
9+1+3a+b+c=0 b = 4 -2b+c =0 c =0 e quindi x^2 + y^2 - 4x + 2y = -a/2 =2 a =-
Esempio 6 Determinare l'equazione della circonferenza che ha per centro C(-2,0) e tangente alla retta y = -x+
Dal centro conosco il valore di a e di b: -a/2=-2 e -b/2=0 ⇒ a = 4 e b = 0. Sostituendo nella generica circonferenza ho: x^2 + y^2 + 4x + c= Mettendo a sistema la circonferenza e la retta tangente:
x^2 + y^2 + 4x + c=0 2 x^2 + 4 + c = 0 ⇒ y = -x+2 y = -x+
⇒ per la condizione di tangenza ∆ = 0 ⇒ - 8 (4+c) = 0 ⇒ c = -4 e quindi x^2 + y^2 + 4x ñ 4 =
Una retta ed una circonferenza possono essere secanti , tangenti o esterne l'una rispetto all'altra. Dato allora il sistema formato dalla equazione della circonferenza e da quella della retta
ax by c
x y ax by c
nell'equazione di secondo grado che risolve il sistema (ricavando una delle due variabili in funzione dellíaltra nella seconda equazione), abbiamo allora le tre possibilit‡ alternative:
∆ > (^0) , la retta Ë secante ; ∆ = (^0) , la retta Ë tangente ; ∆ < (^0) , la retta Ë esterna.
Tangenti alla circonferenza in un punto
Dato un punto P^ (^ x^0 ; y^0 ) e una circonferenza di equazione 0 x^2 + y^2 + ax + by + c = , si possono verificare le tre condizioni.
- P Ë esterno alla circonferenza, le rette per P tangenti alla circonferenza sono due ;
- P appartiene alla circonferenza, la retta tangente Ë una sola ;
- P Ë interno alla circonferenza, non esistono rette tangenti uscenti da P.
Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti , si possono seguire due metodi.
I METODO
- si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per P (^ x^0 , y^0 )
y − y 0 = m ( x − x 0 );
- si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e la circonferenza:
2 0 0
2
0 0 2 2
0 0 x y mx x
y y mx x x y ax by c
y y mx x
- con il metodo di sostituzione si ottiene quindi un'equazione di secondo grado nella variabile x ;
- si impone la condizione di tangenza, ossia ∆^ =^0 ;
- si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m ;
se m^1^^ ≠^ m^2 , le rette tangenti sono due e il punto P Ë esterno alla circonferenza; se m^1^^ =^ m^2 , la retta tangente Ë una sola e il punto P appartiene alla circonferenza; se m 1^ ,^ m 2 ∉ R , non esistono rette tangenti e il punto P Ë interno alla circonferenza;
- si sostituisce il valore o i valori trovati di m nell'equazione del fascio di rette.
LA PARABOLA
La parabola Ë il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta ( direttrice ) e da un punto ( fuoco ). La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. L'asse della parabola Ë un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.
Una parabola con asse parallelo all'asse y Ë rappresentata da un'equazione del tipo
y = ax^2 + bx + c (con a ≠ 0 ).
Concavit‡ e apertura della parabola dipendono dal parametro a.
Riassumiamo alcune caratteristiche della parabola nel seguente schema.
Parabola con asse verticale
ª equazione cartesiana: ª vertice:
a a
b V 4
ª fuoco:
a a
b F 4
ª asse:
ª direttrice: a
y 4
ª coefficiente angolare della retta tangente in un suo punto di ascissa :
Parabola con asse orizzontale
ª equazione cartesiana: ª vertice:
ª fuoco:
ª asse:
ª direttrice: ª coefficiente angolare della retta tangente in un suo punto di ordinata :
Condizioni per determinare l'equazione di una parabola
Anche nell'equazione della parabola y^ =^ ax + bx + c
2 (o x^ =^ ay + by + c
2 ) sono presenti i tre coefficienti a, b e c. Per poterli determinare occorrono in genere tre condizioni. Alcune possibili condizioni sono le seguenti:
- sono note le coordinate del vertice e del fuoco;
- sono note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l'equazione della direttrice;
- la parabola passa per tre punti non allineati;
- la parabola passa per due punti e si conosce l'equazione dell'asse;
- la parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del fuoco);
- la parabola passa per un punto e sono note le coordinate dell'asse e della direttrice.
Esempio 1 Determinare líequazione della parabola di vertice V(2,-3) e fuoco F(2, 1). Da -b/2a = 2 ; - (b2 ñ 4ac)/4a = -3 ; [1 - (b2 ñ 4ac)]/4a = 1 e quindi a= 1/16; b= -1/4; c= -11/4 allora y = (1/16) x2 + (-1/4) x ñ 11/
Esempio 2 Determinare líequazione della parabola di vertice V(2,-3) e direttrice d= Da -b/2a = 2 ; - (b2 ñ 4ac)/4a = -3 ; d= - [1 + (b2 ñ 4ac)]/4a = 0 si ha a= 1/12; b= -1/3; c= -10/3 allora y = (1/12) x2 + (-1/3) x ñ 10/
Esempio 3 Determinare líequazione della parabola passante per A(-1,2), B(1;6), C(0;3) Si ottiene allora il sistema:
3 = c a = 1 6 = a + b + c b =2 Pertanto, la parabola ha equazione: y = x^2 + 2x - 2y + 3 2 = a ñ b + c c = 3
Esempio 4 Determinare líequazione della parabola passante per A(-1,2) e B(1;6) e asse y = 2
3 = c a = Ö
b = 2 6 = a + b + c c = Ö
Esempio 5 Determinare líequazione della parabola passante per A(-1,2) e ha come vertice V (2,1)
-b/2a = 2
- (b^2 ñ 4ac)/4a = 1 2= a ñ b + c
a
coordinate vertice V
Passaggio per A
Appunti o osservazioni da annotare:
Per lí ellisse e lí iperbole richiamiamo solo brevemente la forma delle loro equazioni, e le relazioni che legano le coordinate dei punti caratteristici per la loro determinazione come luoghi geometrici.
ELLISSE
- • Equazione dellíellisse riferita al centro degli assi cartesiani
2 2
2
y a
x centro O(0,0)
Fuochi F 1 (^) (− c , 0 ) e F 2 ( c , 0 )
essendo c^2 = a^2 − b^2
Vertici A(a,0) , B(b,0) , -A(-a,0), -B(-b,0)
Eccentricit‡
a
a b a
c e
0 ≤ e < 1
IPERBOLE
- • Equazione dellíiperbole riferita al centro degli assi cartesiani
2 2
2 − = b
y a
x centro O(0,0)
Fuochi F 1 (^) (− c , 0 )e F 2 ( c , 0 )
essendo c^2 = a^2 + b^2
Vertici A(a,0) , B(0,b)
Asintoti
x a
b y =±
a
a b a
c e
Per líiperbole Ë e^ >^1.
= 2b
Asse minore
= 2a Asse maggiore
Se a > b
- Determinare gli eventuali punti di intersezione delle due circonferenze e rappresentarli graficamente.
2 2
2 2
x y x y
x y
[ N.B.: Ricorda, usa il metodo di riduzione sottraendoÖ. A (-1; 3); B (3; 1)]
- Data la parabola di equazione
y = x^2 − 3 x − 4
determinare le sue intersezioni con gli assi cartesiani e disegnarla. Determinare poi i punti di intersezione con la prima bisettrice (y = x)
1 , 2
1 , 2 y
x
- Determinare líequazione della parabola di vertice V (1; 0) e direttrice d: y = 2. Rappresentarla graficamente
y x x
- Determinare líequazione della parabola passante per i punti A (-1; 0); B (0; 5); C (2; 3).
[Basta risolvere il sistema
a b c
c
a b c
]
- Stabilire se la retta di equazione
y = x-
Ë secante, tangente o esterna alla parabola di equazione
y = − x^2 + 3 x + 4
[secante in A (4; 0) e B (?; ?)]
- Data la parabola di equazione 2 3 y = − x^2 + x + , determinare le equazioni delle rette passanti per P (0; -1).
[Puoi risolvere, imponendo il ∆^ =^0 , il sistema
y x^2 2 x 3
y mx m
ottenendo m^ =±^22 ]
- Disegna líellisse di equazione
2 2
[ a =? ; b =? ]
- Disegna líiperbole di equazione
2 2 − = x y
[che equazione hanno gli asintoti?]
