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CONICHE
LA CIRCONFERENZA
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.
L’equazione cartesiana generale di una circonferenza è:
x
2
2
Chiamiamo C=(Xo,Yo) il centro della circonferenza ed r il raggio e pertanto:
r=
√
X o
2
2
− c
La condizione di esistenza di una circonferenza è:
X
0
2
+ Y
0
2
− c ≥ 0
Occorre tener conto che:
X
0
= a
Y
0
= b
Formule
Se conosciamo le coordinate del centro C (
X
0
, Y
0
), possiamo determinarci a e b:
a=
− 2 X
0
b=
− 2 Y
0
Se conosciamo a e b possiamo determinarci le coordinate del centro C con le formule inverse:
X
0
a
Y
0
b
RELAZIONI TRA COEFFICIENTI E GRAFICO
X
2
Y
2
- a=b=0 la circonferenza ha il centro nell’origine con gli assi
- a=0 la circonferenza ha il centro sull’asse delle y
- b=0 circonferenza con centro su asse x
L’ELLISSE
È il luogo geometrico dei punti del piano, la cui somma dalle distanze dal punto P ai due punti fissi
detti fuochi è sempre costante = 2a
Equazione cartesiana dell’ellisse:
x
2
a
2
y
2
b
2
B
1
F
1
B
1
F
2
= 2a
a = semiasse maggiore
A
1 =¿¿
(-a, a)
A
2
=(a,0)
b = semiasse minore
B
1
= (0,b)
B
2
= (0, -b)
c= distanza da origine al fuoco
C
1
= (-c, 0)
C
2
= (c,0)
f
1
f
2
= fuochi
Formule
a= √
b
2
2
b=±
√
a
2
− c
2
c= ±
√
a
2
− b
2
eccentricità= indica quanto è compressa l’ellisse, è il rapporto tra la distanza focale e semiasse
maggiore:
e=
c
a
Asintoti: retta a cui la curva si avvicina senza mai toccarla e passa per l’origine
y = ±
b
a
x
Eccentricità: rapporto tra la distanza e la lunghezza dell’asse trasverso
e =
c
a
√
a
2
2
a
, e > 1
Iperbole equilatera
Si dice equilatera quando gli assi trasversi e non trasversi hanno la stessa misura
L’equazione diventa:
x
2
− y
2
= a
2
se i fuochi si trovano sull’asse x ;
x
2
− y
2
=− a
2
se i fuochi si trovano sull’asse y ;
Le equazioni possono riassumersi in un’unica equazione:
x
2
− y
2
= k ,
dove k è un numero reale diverso da 0. Tale equazione rappresenta un’iperbole equilatera che ha
come assi di simmetria gli assi cartesiani e i cui fuochi appartengono:
all’asse x , k è positivo;
all’asse y , se k è negativo.
semidistanza focale: c = a √ 2
asintoti: y = ± x
eccentricità: e = √
Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti
Se ruotiamo di 45° un’iperbole equilatera riferita ai propri assi, otteniamo una nuova iperbole
avente come asintoti gli assi cartesiani, e come assi di simmetria le bisettrici dei quadranti.
Pertanto l’equazione diventa: xy = k
Con
k > 0 se l’iperbole giace nel primo o nel terzo quadrante, e
k < 0 se l’iperbole giace nel secondo
o nel quarto quadrante
Si dice equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, per indicare un’iperbole in cui
gli assi cartesiani coincidono con gli asintoti dell’iperbole.
y =
k
x
costituisce la legge della
proporzionalità inversa.
EQUAZIONE IRRAZIONALE
Se K < 0 l’equazione è impossibile
Se K > 0 l’equazione equivale a A
x
= K
2
Es. √
x
3
impossibile
√
x
2
equivale a x
2
2
Quindi x
2
x
2
x = ± √
CASO 3
3
√
A ( x )= B ( x )
In questo caso l’equazione si risolve alevando al cubo il primo e il secondo membro
Es.
3
√ x
3
− 7 = x − 1
CASO 4 se l’incognita compare in più di un radicale
Procedimento:
1°passaggio determinare le condizioni di esistenza
2° passaggio elevare opportunatamente al quadrato pel semplificare i radicali o per arrivare ad
una forma del tipo √
A ( x )= B ( x )
3° passaggio confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e scartare quelle non
accettabili
Es. √
x − √
x + 5 =− √
x − 3
- determino le condizioni di esistenza
1°condizione x ≥ 0
2° condizione
x + 5 ≥ 0
3° condizione
x − 3 ≥ 0
Metto tutto nel sistema:
{
x ≥ 0
x + 5 ≥ 0
x − 3 ≥ 0
2)ricondurre l’equazione a A ( x )= B ( x )
√ x −√ x + 5 =−√ x − 3
inverto il secondo membro con il terzo
√ x + √ x − 3 =√ x + 5
coì tutti i membri sono positivi
¿ eleviamo entrambi i mwmbri al quadrato
