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Capitolo 1:Cenni di teoria degli insiemi
Insiemi Def) Un insieme è una collezione non ordinata di oggetti non ripetuti, finita o infinita. L’insieme è considerato se stesso come un oggetto a parte.
Elementi Def) Gli oggetti dell’insieme vengono denominati elementi dell’insieme. Di solito…
- Gli insiemi vengono denotati con lettere maiuscole A, B, C ,.. .,
- Gli elementi con lettere minuscole x, y, z ,.. .. Quando possiamo parlare di insieme definito e insieme non ben definito? Un insieme è ben definito se, per ogni oggetto , possiamo dire con certezza se appartiene o no all’insieme.Esempi di insiemi ben definiti: ● A={1,2,3,4} → sappiamo esattamente cosa contiene. ● B={x ∈ N ∣ x<10} → regola precisa. ● C={mesi dell’anno} → insieme determinato e noto. Un insieme non è ben definito se ci sono dubbi, ambiguità o soggettività sull’appartenenza degli elementi. Esempi di insiemi non ben definiti: ● S={belle canzoni} → “belle” è soggettivo. ● T={persone alte} → “alte” rispetto a cosa? ● U={numeri grandi} → “grandi” è vago, non c’è un limite preciso. In questi casi non possiamo decidere oggettivamente se un elemento appartiene o meno all’insieme. Insieme vuoto Def) L’ insieme vuoto è l’unico insieme che non contiene alcun elemento ed è denotato col simbolo ∅.
Un insieme A può essere denotato con la notazione A = {x, y, z} dove x, y e z sono gli elementi dell’insieme. Insieme finito Def) Un insieme si dice finito se contiene un numero finito di elementi. Se ha cardinalità finita(la cardinalità indica diversi elementi).
Insieme infinito Def) Un insieme si dice infinito se non è finito, ovvero se contiene un numero infinito di elementi. Se ha cardinalità infinita.es) X= ∅., |X|=0.
Un esempio di insieme infinito è l’insieme dei numeri interi positivi, detto insieme dei numeri naturali, che studieremo più avanti. Tale insieme si denota con: N = {1, 2, 3,.. .}. Se un insieme è infinito, possiamo rappresentarlo con una regola univoca per identificare gli elementi dell’insieme. Ad esempio: A = {x ∈ N: x è un numero pari}.
Tale insieme equivale a: A = {2, 4, 6, 8,.. .}. Dato un insieme A, scriveremo a ∈ A per indicare che a è un elemento dell’insieme A, o ciò che è lo stesso , a appartiene all’insieme A.
Sottoinsieme Def) Dati due insiemi A e B, diremo che B è sottoinsieme dell’insieme A se ogni elemento di B è anche elemento di A. Useremo la notazione B ⊆ A per indicare che B è sottoinsieme di A. In altre parole, B ⊆ A se e solo se ∀ x ∈ B = ⇒ x ∈ A. NEGAZIONE : B è diverso da A se esiste almeno un elemento a in A che non è in B.
Uguaglianza tra insiemi Def) Siano A e B due insiemi. Diremo che A = B se A ⊆ B e B ⊆ A (ovvero A e B hanno gli stessi elementi).
1. Distributività dell’unione rispetto all’intersezione A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Significato L'unione di un insieme A con l'intersezione di B e C è uguale all'intersezione delle due unioni (A∪B) e (A∪C). Interpretazione intuitiva : Se prendiamo tutti gli elementi di A e gli elementi comuni tra B e C, otteniamo un insieme che è identico a quello ottenuto prendendo gli elementi comuni tra quelli che appartengono a A∪B e quelli che appartengono a A∪C. Esempio concreto Siano: ● A={1,2} ● B={2,3,4} ● C={3,4,5} 1) Calcoliamo B∩C(gli elementi comuni tra B e C): B∩C={3,4} 2) Calcoliamo A∪(B∩C): A∪{3,4}={1,2,3,4} 3) Calcoliamo separatamente A∪B e A∪C : - A∪B={1,2,3,4}
- A∪C={1,2,3,4,5}
- Intersechiamo i due risultati: (A∪B)∩(A∪C)={1,2,3,4} Come possiamo vedere, otteniamo lo stesso risultato, confermando la validità della proprietà. Rappresentazione con diagramma di Venn. Se disegni tre cerchi per A,B e C, noterai che B∩C è la parte in comune tra B e C.Quando facciamo A∪(B∩C), prendiamo tutto A e quella parte comune. Allo stesso modo, quando facciamo (A∪B)∩(A∪C), stiamo prendendo gli elementi comuni tra i due insiemi risultanti.
2. Distributività dell’intersezione rispetto all’unione A∩(B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Significato L'intersezione di un insieme A con l'unione di B e C è uguale all'unione delle due intersezioni (A∩B) e (A∩C). Interpretazione intuitiva: Se prendiamo gli elementi di A che appartengono anche a B o C,otteniamo lo stesso risultato che avremmo prendendo separatamente gli elementi di A che stanno in B e quelli di A che stanno in C,e poi unendoli. Esempio concreto Siano: ● A={1,2,3} ● B={2,4,6} ● C={3,5,6} 1) Calcoliamo B∪C(l'unione di B e C):B∪C={2,3,4,5,6} 2) Calcoliamo A∩(B∪C):A∩{2,3,4,5,6}={2,3} 3) Calcoliamo separatamente A∩B e A∩C:A∩B={2}, A∩C={3} 4) Uniamo i due risultati: (A∩B)∪(A∩C)={2}∪{3}={2,3} Otteniamo lo stesso risultato, confermando la validità della proprietà. Rappresentazione con diagramma di Venn Se disegni tre cerchi per A,B e C,noterai che B∪C è l'unione dei due cerchi di B e C.Quando facciamo A∩(B∪C),stiamo prendendo la parte di A che si sovrappone a questa unione. D'altra parte, facendo (A∩B)∪(A∩C),prendiamo prima le sovrapposizioni tra A e B e tra A e C,e poi le uniamo. Le due aree coincidono. Definizione formale di funzione Def) Siano A e B due insiemi. Una funzione da A a B è una legge (una regola) che assegna a ciascun elemento dell’insieme A un unico elemento dell’insieme B. Useremo la notazione f : A → B. - L’ insieme A è chiamato dominio di f ; - L’ insieme B è chiamato codominio di f. Data una funzione f : A → B, diremo che f mappa da A a B. Useremo la notazione f(a) = b o a 7→ b per denotare il fatto che l’elemento a ∈ A sia assegnato (o mappato) all’elemento b ∈ B dalla funzione f.
Immagine di una funzione Def) Sia f : A → B una funzione. L’ immagine della funzione f si denota con Im(f) ed è definita il sottoinsieme di B formato dagli elementi che provengono da almeno un elemento a ∈ A tramite la funzione f. Si ha pertanto Im(f) ⊆ B.
Grafico di funzione Def) Si def. grafico di una funzione f : A → B l’insieme delle coppie ordinate (a, b) tali che a ∈ A e b = f(a).
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione iniettiva Def) Una funzione f : A → B si dice iniettiva se ogni elemento b ∈ B del codominio ha al massimo un elemento del dominio a ∈ A tale che f(a) = b.
Funzione suriettiva Def) Se l ’immagine di una funzione coincide con il codominio , ovvero Im(f) = B, diremo che la funzione è suriettiva.
Funzione Biiettiva(o Biunivoca) Def) Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva si dice biiettiva o biunivoca.
Capitolo 2:Insiemi numerici
Numeri interi positivi Def) L’insieme dei numeri interi positivi viene denotato con il simbolo N e viene denominato insieme dei numeri naturali. L’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito: N = {1, 2, 3,.. .}
- In tale insieme, le operazioni di addizione e moltiplicazione sono operazioni chiuse, ovvero l’addizione e la moltiplicazione di due numeri naturali è sempre un numero naturale. Non si può dire la stessa cosa per la sottrazione e la divisione. Ad esempio, 3 − 5 ∈/ N.
- Per fare in modo che anche la sottrazione sia un’operazione chiusa, dobbiamo estendere l’insieme dei numeri naturali e includere anche i numeri interi negativi. Numeri interi relativi Def) L’insieme dei numeri interi relativi (positivi, negativi e lo zero) viene denotato con il simbolo Z. L’insieme dei numeri relativi è un insieme infinito: Z = {... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,.. .} Pertanto: N ⊂ Z.
- In Z le operazioni di addizione, moltiplicazione e sottrazione sono operazioni chiuse, mentre la divisione non lo è. Ad esempio, 3/5 ∈/ Z.
- Per fare in modo che anche la divisione sia un’operazione chiusa, dobbiamo estendere l’insieme dei numeri relativi e includere anche le frazioni di numeri relativi. Numeri razionali Q Def) In generale, un numero razionale può essere espresso come una frazione della forma a b , dove a e b sono due numeri interi (a, b ∈ Z) e b ̸= 0. Il numero a è detto numeratore mentre b viene detto denominatore.
- L’insieme Q è chiuso rispetto alle quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
- Osserviamo che la sottrazione è un caso particolare di addizione, ovvero x − y = x + (−y). Analogamente, la divisione è un caso particolare di moltiplicazione: x/y = x · 1/y, con y ̸= 0. Pertanto, d’ora in poi considereremo solo le due operazioni addizione e moltiplicazione, sapendo che implicitamente stiamo considerando anche sottrazione e divisione.
Numeri reali R Numeri reali Def) Un numero reale può essere descritto, in maniera non formale, come un numero al quale è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito. Numeri razionali Def) Ogni numero che può essere scritto come frazione di due numeri interi è detto numero razionale. Numero irrazionale Def) Ogni numero che non può essere scritto come frazione di due numeri interi viene detto numero irrazionale. I numeri di R\Q vengono detti numeri irrazionali, come ad esempio √ 2 e π.
Numeri e aritmetica hanno spesso un legame con la geometria. Infatti, i numeri interi vengono spesso rappresentati come punti equispaziati su una retta (infinita), mentre l’assioma di Dedekind ci assicura che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali.
Si ha: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Densità dei numeri razionali Teorema) L’insieme Q è denso in R, ovvero dati comunque due numeri reali distinti x, y ∈ R, con x < y, allora esiste un numero razionale c ∈ Q tale che x < c < y.
Insiemi numerici Def) Si definisce insieme numerico un qualunque sottoinsieme di R. Esempi di insiemi di numerici: A = {1, −3/4, √ 2}, B = {x ∈ Q : x < 10}, C = N.
Minimo di un insieme numerico I Def) Si definisce minimo di un insieme numerico I un numero reale m ∈ I tale che m ≤ x per ogni x ∈ I. Denotiamo tale minimo di I con min I.
Non limitato inferiormente Def) Un insieme numerico I si dice non limitato inferiormente se non esistono minoranti per I. Non limitato superiormente Def) Un insieme numerico I si dice non limitato superiormente se non esistono maggioranti per I. Non limitato Def) Un insieme numerico I si dice non limitato se non è limitato né inferiormente né superiormente. Estremo inferiore di I Def) Sia I un insieme numerico limitato inferiormente. Chiamiamo Im l’insieme numerico dei minoranti di I. Si definisce estremo inferiore di I il massimo dei minoranti: sup I = max Im. Estremo superiore di I Def) Sia I un insieme numerico limitato superiormente. Chiamiamo IM l’insieme numerico dei maggioranti di I. Si definisce estremo superiore di I il minimo dei maggioranti: sup I = min IM.
Capitolo 3:Algebra lineare
Sistemi lineari Sistema lineare quadrato Def) Un sistema lineare quadrato è un insieme di equazioni lineari della forma : dove gli aij sono coefficienti, x1, x2,... , xn sono le variabili incognite, e b1, b2,... , bn sono termini noti. Soluzione di un sistema lineare Trovare i valori di x1, x2,... , xn che soddisfano tutte le equazioni simultaneamente.
Matrice Associata a un Sistema Lineare Un sistema lineare può essere rappresentato tramite una matrice dei coefficienti e un vettore dei termini noti. Dato il sistema:
Matrice Associata Quadrata Def) Una matrice quadrata è una matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne. Ad esempio, una matrice 3 × 3 è di forma: Le matrici quadrate giocano un ruolo importante nella risoluzione dei sistemi lineari, specialmente quando il numero di equazioni è uguale al numero di incognite (n = m). Se la matrice dei coefficienti A di un sistema lineare è quadrata, si può usare il determinante per determinare l’unicità della soluzione. Determinante di una Matrice Quadrata Def) Il determinante di una matrice quadrata A = (aij ) è un numero associato alla matrice che può essere usato per determinare se il sistema lineare ha una soluzione unica. Per una matrice 2 × 2:il determinante è: det(A) = ad − bc.
Matrice Associata a un Sistema Non Quadrato Per un sistema non quadrato, possiamo ancora scrivere il sistema in forma matriciale. Consideriamo…
Osservazione : Per sistemi non quadrati, non possiamo definire un determinante. Tuttavia, si possono risolvere con altri metodi, come la riduzione a scala o metodi di approssimazione numerica. Risultati per Sistemi Non Quadrati Numero di soluzioni :
- Se il numero di equazioni è minore del numero di incognite (m < n), solitamente il sistema ha infinite soluzioni o nessuna soluzione.
- Se il numero di equazioni è maggiore del numero di incognite (m > n), il sistema può essere sovradeterminato e non ammettere soluzioni, oppure potrebbe ammettere una soluzione se le equazioni sono compatibili. _Metodi di risoluzione_* :
- Riduzione a scala.
- Metodi iterativi (es. metodo di Gauss-Seidel).
Capitolo 4:Geometria Piana
Il Piano Cartesiano Def) Il piano cartesiano è un sistema di coordinate bidimensionali formato da due assi perpendicolari :
- l’asse delle ascisse (x)
- l’asse delle ordinate (y)****. L’intersezione degli assi è chiamata origine e ha coordinate (0, 0). Un punto nel piano cartesiano è rappresentato da una coppia di coordinate (x, y). Le coordinate indicano la distanza del punto dagli assi. Esempio: Il punto A(3, 2) si trova a 3 unità lungo l’asse x e 2 unità lungo l’asse y. Distanza tra Due Punti La distanza d tra due punti P(x1, y1) e Q(x2, y2) è calcolata con la formula:
Punto Medio di un Segmento Il punto medio M di un segmento con estremi P(x1, y1) e Q(x2, y2) ha coordinate:
Simmetrico di un Punto rispetto a un Punto Il punto simmetrico P′(x′,y′)di un punto P(x, y) rispetto a un punto Q(a, b) è dato da: P′(2a − x, 2b − y)
Area di un Triangolo L’area A di un triangolo con vertici (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) è data da:
Punti Allineati Tre punti A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) sono allineati se il determinante della matrice associata è zero:
Rappresentazione Analitica di una Retta La retta nel piano cartesiano può essere rappresentata come: y = mx + q dove…
- m è il coefficiente angolare ;
- q è l’ ordinata all’origine (l’intercetta).
Perpendicolarità tra Rette Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1. Se m1 e m2 sono i coefficienti angolari delle due rette, allora: m1 · m2 = −. Esempio : Se una retta ha coefficiente angolare 2, la retta perpendicolare avrà coefficiente angolare − 1/. Simmetrico di un Punto rispetto a una Retta Il punto simmetrico P ′ di un punto P(x, y) rispetto a una retta ax + by
- c = 0 può essere trovato utilizzando la formula:
Distanza di un Punto da una Retta La distanza d di un punto P(x0, y0) dalla retta ax + by + c = 0 è data da:
Parabola La parabola è una curva definita dall’equazione quadratica: y = ax^2 + bx + c
Capitolo 4,2:Trigonometria
Circonferenza Goniometrica Def) La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1, centrata nell’origine di un sistema di assi cartesiani (O, X, Y ) identificata dall’equazione x^2 + y^2 =. Caratteristiche principali :
- Ogni punto P(x, y) sulla circonferenza ha distanza 1 dall’origine.
- Viene utilizzata per definire gli angoli e le funzioni trigonometriche come seno e coseno.
- Gli angoli sono misurati a partire dall’asse positivo delle X, con rotazione positiva in senso antiorario. Definizione di Angolo Def) Un angolo è una misura della rotazione tra due semirette con un’origine comune. Caratteristiche principali :
- Gli angoli possono essere misurati in gradi (◦ ) o radianti.
- 360 ◦ = 2π radianti.
- Un angolo positivo si misura in senso antiorario, mentre un angolo negativo si misura in senso orario. Definizione di Seno e Coseno Sia P(x, y) un punto sulla circonferenza goniometrica corrispondente ad un angolo θ. Def) - Seno : La coordinata y del punto P è il seno dell’angolo θ: sin(θ) = y. - Coseno : La coordinata x del punto P è il coseno dell’angolo θ: cos(θ) = x. Relazione fondamentale : Per ogni angolo θ, si ha: sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1. Proprietà del Seno e del Coseno Le funzioni seno e coseno presentano alcune proprietà fondamentali.
Angoli Notevoli per Seno e Coseno Osservazione: Gli angoli notevoli sono fondamentali per risolvere molteplici problemi di trigonometria. Essi derivano da relazioni geometriche sulla circonferenza goniometrica e sul triangolo rettangolo.
Tangente Def) La tangente di un angolo θ è definita come il rapporto tra il seno e il coseno di θ : tan θ = sin θ cos θ.
