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Nota: non è detto che le dimostrazioni proposte siano le uniche possibili
Dimostrazioni
1) Dimostrare che una mediana di un triangolo lo divide in due triangoli aventi la stessa area.
Dimostrazione
Banale. I triangoli hanno basi congruenti e stessa altezza.
2) Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma lo dividono in quattro triangoli aventi la stessa area
Dimostrazione
Sappiamo che il punto O di intersezione delle diagonali le divide in segmenti congruenti. Si può applicare ai triangoli DBC e DBA e ABC il risultato precedente. Per la propietà transtiva, i quattro triangoli sono equivalenti.
3) Dimostrare che le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli equivalenti.
Dimostrazione
I triangoli che hanno un vertice nel baricentro sono a due a due equivalenti, perché hanno basi congruenti e stessa altezza (in figura indicati con lettere uguali). Per il risultato 1) si ha che a + 2c è equivalente ad a + 2b. Ne segue quindi che c = b. E analogamente si ottiene che c = a.
4) Dimostrare che, congiungendo i punti medi di due lati di un triangolo, questo risulta suddiviso in due parti, una equivalente al triplo dell’altra.
Dimostrazione
Se si congiungono i due punti medi M e N anche con l’atro punto medio, si ottengono, per il Teorema di Talete, quattro triangoli congruenti (e perciò equivalenti). Il quadrilatero ABMN risulta avere perciò area tripla di quella del triangolo NMC.
5) Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD=DE=EC. Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE. Dimostrare che l’area del quadrilatero DENM è la quarta parte dell’area del triangolo ABC.
Dimostrazione
Per il risultato 4) DENM è i tre quarti di DEA, che, a sua volta, è un terzo di ABC. Ne segue la tesi.
6) Il quadrilatero ABCD è circoscritto alla circonferenza di centro O. Dimostrare che la somma delle aree dei triangoli ABO e DOC è equivalente alla somma delle aree dei triangoli BCO e ADO.
Dimostrazione
Per il teorema sui quadrilateri circoscritti alla circonferenza, si ha AB + CD = AD + BC. I quattro triangoli hanno inoltre tutti la stessa altezza (il raggio della circonferenza). Le due coppie di triangoli hanno somma delle basi congruenti e stessa altezza. Ne segue la tesi.
7) Dato il triangolo ABC siano M il punto medio del lato AB, N il punto medio del lato BC, L il punto medio del lato AC.
Dimostrare che i quattro triangoli A ML
∆
, B MN
∆
, C NM
∆
e C ML
∆ hanno la stessa area.
Dimostrazione
Poiché LN è parallelo ad AB (Teorema di Talete) allora AML equivale a MBN (basi congruenti e stessa altezza). E, per lo stesso motivo, AML equivale a MLC e MBN equivale a NMC. Per la proprietà transitiva si ha la tesi.
8) Se dal punto medio M del lato BC di un qualunque triangolo ABC si tracciano le parallele agli altri due lati, queste incontrano i lati AB e AC in due punti, L e, rispettivamente, N. Dimostrare che si ottiene un parallelogramma ALMN che ha area la metà di quella del triangolo ABC.
Dimostrazione
Banale. Si traccia una diagonale del parallelogramma e si ragiona come in 7)
9) Dimostrare che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un qualunque quadrilatero ha area la metà dell’area del quadrilatero.
Dimostrazione
Si tracciano le diagonali del quadrilatero. Ai quattro triangoli AOB, BOC, COD e DOA si può applicare il risultato 8)
10) Dato un trapezio ABCD, detti N e M i punti medi dei lati obliqui, dimostrare che i triangoli AND e BMC sono equivalenti.
Dimostrazione
Si traccia MN, che è paralella alle due basi. I traingoli MND e MNC sono equivalenti (stessa base e stessa altezza) I triangoli MNA e MNB sono equivalenti (stesso motivo). La tesi si ha per somma.
15) Sia ABC un qualsiasi triangolo.
Sui suoi lati ed esternamente a esso si
costruiscano i tre quadrati ABDE, BCFG
e CAHL.
Dimostrare che i triangoli AHE, BDG e
CFL sono equivalenti al triangolo ABC.
Dimostrazione
Se consideriamo i triangoli AEH e ABC, essi hanno due lati congruenti (perché lati dei quadrati) e gli angoli tra essi compresi supplementari (facile da dimostrare). Per il risultato precedente, essi sono equivalenti. Allo stesso modo si dimostra l’equivalenza tra gli altri due triangoli
BDG e CFL ed il triangolo ABC
