Slide Statistica - Principi e metodi, Slide di Statistica

Scarica Slide Statistica - Principi e metodi e più Slide in PDF di Statistica solo su Docsity!

Capitolo 18

Verifica delle ipotesi

Statistica: principi e metodi

Sia θ il parametro d’interesse, ossia la costante

caratteristica della popolazione oggetto di studio.

L’ipotesi statistica è un’ affermazione o una

congettura che riguarda il parametro θ.

L’ipotesi sottoposta a verifica va sotto il nome di

ipotesi nulla H.

L’affermazione o la congettura contrapposta è

chiamata ipotesi alternativa H

Ipotesi statistica

Sia H 0 : θθθθ = θθθθ 0.

L’ipotesi alternativa contrapposta può assumere

una delle tre configurazioni

Ipotesi alternativa unidirezionale o

bidirezionale

H : θ θ

H : θ θ

H : θ θ

≠







<

ipotesi alternativa unidirezionale

ipotesi alternativa bidirezionale

Con riferimento a un generico parametro θ, supponiamo

che siano

H 0 : θθθθ = θθθθ 0 l’ipotesi nulla

H 1 : θθθθ ≠≠≠≠ θθ θθ 0 l’ipotesi alternativa.

Con la verifica delle ipotesi si decide se rifiutare o non

rifiutare l’ipotesi nulla sulla base di una funzione dei dati

del campione casuale detta statistica test.

Verifica delle ipotesi

Probabilità degli errori

nella verifica delle ipotesi

Se indichiamo con αααα la probabilità dell’errore di prima specie

e con ββββ la probabilità dell’errore di seconda specie, avremo

La probabilità α è chiamata livello di significatività del test.

La probabilità π = 1 − β è chiamata potenza del test.

Decisione

Stato reale

H 0 vera H 0 falsa

Non rifiuto di H 0

P(decisione corretta|H 0 )= P(non rifiuto H 0 |H 0 vera)=

P(errore seconda specie)=

P(non rifiuto H 0 |H 0 falsa)= ββββ

Rifiuto di H 0

P(errore prima specie)=

P(rifiuto H 0 |H 0 vera)= αααα

P(decisione corretta|H 1 )=

P(rifiuto H 0 |H 0 falsa)= (1 −−−− ββββ )

Criteri di ottimizzazione

nella verifica delle ipotesi

Per i problemi di verifica di ipotesi che si affronteranno,

la teoria statistica consente di individuare il

procedimento che, fissato il livello di significatività del

test α, minimizza la probabilità dell’errore di seconda

specie β, ovvero massimizza la potenza del test.

I test per la verifica di ipotesi su medie e su proporzioni,

che si introdurranno, sono, in questo senso, ottimi.

Ipotesi nulla: H 0 : μμ μμ = μμ μμ 0 Ipotesi alternativa: H 1 : μμ μμ > μμ μμ 0

Dati un livello di probabilità α molto piccolo ( α = 0.05; 0.01;…) ed il corrispondente quantile della normale standardizzata , la probabilità dell’evento è uguale ad α ( livello di significatività ).

Si rifiuta l’ipotesi nulla se il valore assunto dalla statistica test nel campione osservato fa parte dell’insieme

Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale

con varianza nota: ipotesi alternativa unidirezionale

ZX > z 1 − α

{x :x x μ z σ/ n }

R {z :z z }

1 α 0 1 α

x x 1 α

− −

−

= > = +

= > zona di rifiuto tramite la media campionaria

z 1 − α

zona di rifiuto tramite la statistica test

Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale

con varianza nota: ipotesi alternativa unidirezionale

H 0 : μμμμ = μμμμ 0 ; H 1 : μμμμ > μμ μμ 0

Cap. 18-

zona di rifiuto in

termini di z

zona di rifiuto in termini della media campionaria

Verifica di ipotesi sulla media

di una popolazione normale con varianza nota

Quando la statistica test cade nella zona di rifiuto si dice che

“ il test è significativo ”.

Espressioni equivalenti sono:

“la media campionaria differisce significativamente da μ 0 ”;

“la differenza è significativamente diversa da 0”;

“vi è sufficiente evidenza empirica contro l’ipotesi nulla”.

x − μ 0

Esempio 1: Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota ipotesi alternativa unidirezionale: H 0 : μμμμ = μμμμ 0 ; H 1 : μμμμ > μμμμ 0

Una linea di produzione di una cartiera, in condizioni normali di

funzionamento, produce fogli di carta la cui lunghezza è assimilabile a una

v.c., distribuita normalmente, avente deviazione standard σσσσ = 0.03 cm.

La lunghezza media prevista per tali fogli è 29.5 cm.

In un campione casuale di 12 fogli sono stati osservati i seguenti dati :

Si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi che il processo è sotto controllo,

cioè che H 0 : μ = 29.5, contro H 1 : μ > 29.5 ad un livello di

significatività del 5%.

La media campionaria è x =29.5031.

Ipotesi nulla H 0 : μμμμ = μμμμ 0

Ipotesi alternativa H 1 : μμμμ < μμ μμ 0

In questo caso, i “campioni più estremi” sono quelli le cui

medie sono molto più piccole di in quanto si trovano a

sinistra del valore soglia e hanno

complessivamente una probabilità molto bassa, pari ad α.

Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale

con varianza nota: ipotesi alternativa unidirezionale

0 1

1 x x x z n

R zx z x z

α μ^ α^ σ

α

−

−

μ 0 ,

x (^) α = μ 0 − z 1 −α σ/ n

zona di rifiuto tramite la media campionaria

zona di rifiuto tramite la statistica test

Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale

con varianza nota: ipotesi alternativa unidirezionale

H 0 : μμμμ = μμμμ 0 ; H 1 : μμμμ < μμμμ 0

zona di rifiuto in

termini di z

zona di rifiuto in termini della media campionaria

Esempio 2 ( continuazione)

H 0 : μμμμ = 10 ;;;; H 1 : μμμμ < 10

Cap. 18-

Il valore assunto dalla statistica test rientra nella zona di rifiuto. Pertanto, l’ipotesi nulla viene rifiutata: vi sono evidenze sufficienti per ritenere che la media sia inferiore a 10.

α = 0.01; 1 - α=0.99; z 1 −α =z0.99 = 2.32;

σ/ n

x μ z (^) x 0 =

z x =-2.63<−z0.95 = -2.32.

n

σ x (^) 0.01 μ 0 z 1 α

x =8.98; σ^2 =1.5; n= 10

Zona di rifiuto R = {zx :zx <−z 1 −α}={zx:zx <− 2.32}

Statistica test

Confronto della statistica test con la soglia della zona di rifiuto Naturalmente, si giunge allo stesso risultato operando direttamente con la media del campione 8.98 che è al di sotto del valore soglia

α=0.

-2. -2.

Ipotesi nulla H 0 : μμμμ = μμ μμ 0

Ipotesi alternativa H 1 : μμ μμ ≠≠≠≠ μμμμ 0

L’ipotesi nulla viene rifiutata per valori di molto

distanti da μ 0 nell’una o nell’altra direzione, ossia per

valori di molto più grandi oppure molto più piccoli

rispetto a μ 0.

Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota: ipotesi alternativa bidirezionale

x

x

R ={zx : |zx |>z 1 −α / 2 }={zx :zx <−z 1 −α/ 2 ∪ zx >z 1 −α/ 2 }

R ={x:x∉ (μ 0 − z 1 −α/2 σ/ n, μ 0 +z 1 −α/2σ/ n )}.

zona di rifiuto tramite la media campionaria

zona di rifiuto tramite la statistica test