Statistica: principi e metodi - Capitolo 13, Slide di Statistica

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Capitolo 13

Variabili casuali

Statistica: principi e

metodi

L’espressione variabile casuale (v.c. per

brevità) indica una quantità il cui valore

dipende dall’esito di un esperimento

casuale.

L'attributo "casuale" rinvia al fatto che

essa è generata da un esperimento

casuale di cui non siamo in grado di

prevedere l'esito con certezza.

Dizioni equivalenti a v.c. sono variabile

aleatoria e variabile stocastica.

Variabile casuale

 Una variabile casuale discreta può assumere un

insieme discreto (finito o numerabile) di numeri

reali.

 Una variabile casuale continua può assumere tutti i

valori compresi in un intervallo reale.

Variabili casuali discrete o continue Cap. 13- 4 S discreto v.c. discreta S continu o v.c. discreta o continua

Es.: lancio di una moneta

bilanciata. S={croce,testa};

v.c. : X({testa}) = 1 e

X({croce}) = 0

X:S={croce,testa} → {0,1}

Es. durata di una lampadina fino alla rottura

S={e:e0} : continuo (infinità non numerabile di

eventi).

La v.c. X " durata" è una v.c. continua.

Se consideriamo due eventi E 1 =durata10 ore

ed E 2 =durata>10 ore, possiamo definire una

variabile casuale X, che assume valore 1 in

corrispondenza di E 1 e valore 0 in corrispondenza di

E. In tal caso otteniamo una variabile casuale

Esempio di variabili casuali discrete Esperimento: triplo lancio di moneta. X=numero di Teste Esperimento: lancio di due dadi. X=Somma delle facce dei due dadi

Una v.c. X si dice discreta se può assumere un

numero finito o un’infinità numerabile di valori

S

Esempio: Variabili casuali discrete -

funzione di probabilità

Esperimento: triplo lancio di moneta. X=numero di Teste

CC

C

TC

C

CT

C

CC

T

TTC

TCT

CTT

TTT

X

f(x)

S

X: S  f(x): X  [0,1]

Lo schema con cui si associano ai valori di

X i rispettivi livelli di probabilità va sotto il

nome di distribuzione di probabilità

Valore di X x

x

… x

i

Probabilità p

p

… p

i

Variabili casuali discrete: distribuzione di probabilità

Esempio: grafico a barre di una variabile casuale discreta

Nella figura che segue è rappresentata graficamente la

distribuzione di probabilità tramite un grafico a barre.

Valore di

X

Probabilità f

( x )

Totale 1.

 Un modo alternativo di descrivere una v.c.

discreta è tramite la funzione di ripartizione che

associa ad ogni x la somma delle probabilità

corrispondenti a x e a tutti i valori inferiori

Funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta

 La rappresentazione grafica della funzione di

ripartizione dà luogo a un grafico a gradini.

       t x F(x) P(X x) f t

Esempio: funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta

Con riferimento all’Esempio sulla lotteria, la funzione di

ripartizione è riportata nella tabella che segue e

rappresentata dal grafico affiancato alla tabella.

Il grafico mostra i livelli di probabilità associati ai valori di X

come incrementi che subisce la funzione in corrispondenza

di tali valori.

Valore

di X

Probabili

tà f ( x )

Probabili

tà F ( x )

Considerando la variabile Somma dei risultati nel

lancio di due dadi, la funzione di ripartizione è

Esempio: funzione di ripartizione di una

variabile casuale discreta

Esempio: valore atteso e varianza di una variabile casuale discreta

Calcoliamo la media , la varianza e la deviazione standard

della distribuzione di probabilità dell’esempio sulla lotteria

Media:

Varianza:

Deviazione

standard:

Valore di X Probabilit

à

Totale 1.

( ) ( ) 50  0. 4  100  0. 3  200  0. 2  400  0. 1  130 x

E x xf x

 (  ) ( ) ( 50  130 ) 0. 4 ( 100  130 ) 0. 3  2 2 2 2 x  x  f x

2 2

  11100  105. 36

 (^) Una v.c. si dice continua se può assumere tutti i valori di un determinato intervallo di numeri reali.

ESEMPIO: Se siamo interessati alla durata di una lampadina

questa è una variabile casuale misurata in un intervallo continuo

e quindi è una v.c. continua.

 (^) Se la var. casuale è continua non è possibile elencare tutte le singole realizzazioni (cioè tutti i valori) perché questi sono una infinità non numerabile e quindi non si può attribuire una probabilità ai singoli valori

ESEMPIO: la probabilità che la durata di una lampadina sia

esattamente 100 ore è 0. Si può pero determinare la probabilità

per intervalli di valori: si può definire la probabilità che la durata

di una lampadina sia tra i 99.5 e 100.5 ore

Variabili casuali continue

 Consideriamo adesso classi di ampiezza uguale a 5

ore.

Dal discreto al continuo (2) Cap. 13- 19 Durata Frequenz a Frequenz a relativa h 57.5-62.5 1 0.001 0. 62.5-67.5 0 0.000 0 67.5-72.5 2 0.002 0. 72.5-77.5 8 0.008 0. 77.5-82.5 32 0.032 0. 82.5-87.5 58 0.058 0. 87.5-92.5 111 0.111 0. 92.5-97.5 166 0.166 0. 97.5-102.5 223 0.223 0. 102.5- 107.5 180 0.180 0. 107.5- 112.5 118 0.118 0. 112.5- 117.5 57 0.057 0. 117.5- 122.5 33 0.033 0. 122.5- 127.5 5 0.005 0. 127.5- 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10

 Consideriamo adesso classi di ampiezza uguale a 1

ora.

Dal discreto al continuo (3) Cap. 13- 20

L’istogramma sarà formato da rettangoli

di base uno e altezza pari alla frequenza

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 0