Statistica: principi e metodi Capitolo 4, Slide di Statistica

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Capitolo 4

Indici di sintesi:

Medie

Statistica: principi e metodi

le medie sono lo strumento con cui si

sintetizzano i dati statistici.

l’uso della media consente all’individuo di

rappresentarsi mentalmente l’“ ordine di

grandezza ” di un fenomeno, di

effettuare comparazioni tra le

manifestazioni di uno stesso fenomeno in

tempi, luoghi o situazioni diverse, di

comunicare ad altri tale informazione.

Medie

Medie che è possibile calcolare in relazione ai diversi tipi di carattere

Operazioni

Moda

Statistiche

d’ordine

(Mediana, Quartili, Decili, Percentili, Quantili )

Medie algebriche

( media aritmetica, media armonica, media geometrica, media quadratica )

Caratteri

*=, ≠ > , < +, -, , /

Qualitativi

sconnessi si^ no^ no ordinabili si^ si^ no Quantitativi si^ si^ si

Quando il carattere è quantitativo e le modalità sono raggruppate in classi, si parla di classe modale con riferimento alla classe avente la densità di frequenza più elevata. Si possono avere distribuzioni unimodali, bimodali, multimodali e zeromodali Moda La moda di un collettivo, distribuito secondo un carattere di qualsiasi natura, è la modalità prevalente del carattere ossia quella modalità a cui è associata la massima frequenza.

Moda esempio (2) Carattere qualitativo ordinabile Giudizio sul servizio mensa Frequenze assolute xi ni pessimo 11 mediocre 12 sufficiente 12 discreto 8 ottimo 7 Totale 50 Distribuzione bimodale Mode: mediocre e sufficiente Frequenza massima: 12 Distribuzione degli studenti in base al giudizio sul servizio mensa 0 2 4 6 8 10 12 pessimo mediocre sufficiente discreto ottimo frequenze assolute

Moda esempio (3) Carattere quantitativo discreto Voto esame di matematica Frequenze assolute xi ni 18 5 20 7 23 8 26 8 27 10 28 7 30 5 Totale 50 Distribuzione unimodale Moda: 27 Frequenza massima: 10 0 2 4 6 8 10 12 17 18 19 20 21 222324252627282930 Distribuzione degli sudenti risposto al voto in matematica

Carattere quantitativo continuo in classi: Classe modale

Per determinare la moda è necessario

calcolare la densità di frequenza h

i

data dal rapporto fra frequenza

assoluta n

i

e ampiezza di classe d

i

La classe modale è la classe con

maggiore densità di frequenza

Classi di peso (in Kg) Frequenza assoluta Ampiezza di classe Densità di frequenza xi |-- xi+1 ni di hi 10 |-- 15 5 5 1 15 |-- 20 15 5 3 20 |-- 30 20 10 2 30 |-- 50 30 20 1, 50 |-- 75 15 25 0, 75 |-- 100 15 25 0, Totale 100 Densità Massima Distribuzione unimodale Classe modale: 15|-- Densità di frequenza massima: 3

Classe modale: esempio Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l’età :
La classe modale è 19- Perché ha la densità di frequenza più elevata Classe n i d i hi 19- 21 31 2 15. 21-24 45 3 15 24-27 5 3 1, 27-30 1 3 0, Totale 82

Mediana per N dispari

Cap. 4-

 N dispari : la mediana è la modalità che nella distribuzione

ordinata occupa il posto

2 N+ 1 x 1 =21 x 2 = 18 x 3 = 28 x 4 = 27 x 5 = 30 x 6 = 28 x 7 = 30 x 8 = 25 x 9 =

Distribuzione disaggregata dei voti riportati a N=9 esami

y 1 =18 y 2 = 21 y 3 = 22 y 4 = 25 y 5 = 27 y 6 = 28 y 7 = 28 y 8 = 30 y 9

Distribuzione ordinata 5 2 9 1 2 N 1 =

=

Posizione occupata dalla mediana:

Mediana:

27 5 = =

y y 2 N 1

Mediana per N pari

Cap. 4-

N pari : si hanno due modalità mediane che nella distribuzione

ordinata occupano rispettivamente i posti

N

N

e +

x 1 =21 x 2 = 18 x 3 = 28 x 4 = 27 x 5 = 30 x 6 = 28 x 7 = 30 x 8 = 25 x 9 =22 x 10

Distribuzione disaggregata dei voti riportati a N=10 esami

y 1 =18 y 2 = 21 y 3 = 22 y 4 = 25 y 5 = 27 y 6 = 28 y 7 = 28 y 8 = 28 y 9 =30 x 10 = Distribuzione ordinata

N

N

Posizioni occupate dalle mediane

Mediane

27. 5 2 27 28 2 1 =

=

2 N 2 N y y 27; 28 1 = = = =

6 2 5 N 2 N y y y y

Mediana

S e N è pari , e il carattere è quantitativo si può assumere

come mediana la media aritmetica dei termini che occupano le

due posizioni centrali della graduatoria dei termini ordinati,

ossia le posizioni N/2 e N/2 + 1.

Calcolo della Mediana 2 y y m 1 2 N 2 N

=

Esempio: Mediana per caratteri qualitativi

ordinabili - N dispari

4 2 7 1 2 N 1 =

=

Distribuzione disaggregata :

Sufficiente, Pessimo, Insufficiente, Ottimo, Sufficiente,

Insufficiente, Ottimo

Distribuzione ordinata:

Pessimo, Insufficiente, Insufficiente, Sufficiente,

Sufficiente, Ottimo, Ottimo

Posizione occupata dalla mediana

Mediana: = = Sufficiente

• 4 2 N 1 y y

Esempio: Mediana per caratteri quantitativi discreti - N dispari Ritardi (in minuti) di un treno a lunga percorrenza alla stazione di Roma Termini, registrati in un campione di 7 osservazioni (i valori vengono ordinati in senso crescente 0, 9, 5, 6, 8, 10, 12

- Fase 1: ordinamento dei termini **0, 5, 6, 8, 9, 10, 12

• Fase 2: individuazione del posto centrale della graduatoria**
• Fase 3: individuazione della mediana 4 2 7 1 2 1 =

= N + m = 8 8 è il termine che occupa il quarto posto
Mediana

Esempio: Mediana per caratteri quantitativi discreti - N pari Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive: 12.8, 13.0, 13.4, 13.4 , 13.6, 13.5, 13.6, 13.

- Fase 1: ordinamento dei termini **12.8, 13.0, 13.4, 13.4 , 13.5, 13.6, 13.6, 13.

• Fase 2: individuazione dei posti centrali della graduatoria:
• Fase 3: individuazione della mediana** 1 5 2 8 1 2 4 2 8 2 = = + = + = N N ,

13. 45 2
14. 4 13. 5 =

m = 13.4 e 13.5 sono i termini che occupano i posti quarto e quinto
Mediana