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Distribuzione campionaria, errore campionario,

statistica campionaria

SA Gattone

Distribuzione campionaria (1) e Errore campionario (2)

Concetti chiave dell’inferenza statistica

1. Le statistiche dipendono dai dati presenti nel campione: variano da campione a campione.
2. Esprime il fatto ineluttabile che le statistiche calcolate sul campione non coincidano con il parametro

Vedremo due aspetti importanti:

I (^) l’errore campionario oscilla attorno a zero I (^) il campionamento casuale ci permette di conoscere la probabile ampiezza dell’errore campionario

Ad esempio: per un campione di numerosità 1000, l’errore campionario che si commette allorchè viene stimata una percentuale è, nella maggiorparte dei casi, al massimo pari a ± 3 %

Campionamento da popolazioni infinite (1)

Il fenomeno oggetto di studio nella popolazione può essere rappresentata dalla v.c. X che possiede una certa distribuzione di probabilità f ( x ; θ )

I (^) θ è la caratteristica di interesse, il parametro incognito I (^) X è la nostra urna

Dalla popolazione si viene estratto un campione di unità statistiche che costituiscono una n -pla di variabili casuali:

X 1 , X 2 ,... , Xn

la cui determinazione numerica corrisponde a una n -pla di osservazioni

x 1 , x 2 ,... , xn

Campionamento da popolazioni infinite (2)

Importante! X 1 , X 2 ,... , Xn sono variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite con funzione di probabilità f ( x ; θ ) I (^) Supponiamo che nella popolazione il fenomeno si distribuisca come segue:

X p(x) 1 0. 2 0. 3 0. 1

Si immagini di estrarre un elemento dalla popolazione, si tratta di un esperimento casuale, i cui esiti possono essere rappresentati dalla variabile casuale che indichiamo con X 1 : risultato primo estratto I (^) Ci dobbiamo chiedere qual è la distribuzione di probabilità di X 1?

Campionamento da popolazioni infinite (4)

X 1 ha la stessa distribuzione di X nella popolazione cioè:

X 1 p ( x 1 ) 1 0. 2 0. 3 0. 1

I (^) Cosa accade se estraiamo un secondo elemento?

Campionamento da popolazioni infinite (5)

I (^) Cosa accade se estraiamo un secondo elemento?

Definiamo la v.c. X 2 = risultato secondo estratto con identica distribuzione di probabilità, cioè:

X 2 p ( x 2 ) 1 0. 2 0. 3 0. 1

I (^)... e così via

Distribuzione campionaria

Una statistica campionaria è una funzione a valori reali delle osservazioni campionarie X 1 , X 2 ,... , Xn La indichiamo con:

t ( X 1 , X 2 ,... , Xn )

E’ fondamentale comprendere che t ( X 1 , X 2 ,... , Xn ) è una variabile casuale il cui valore varia da campione a campione. La sua distribuzione di probabilità è nota come distribuzione campionaria Concetto difficile da apprendere perchè la distribuzione è teorica... per questo proveremo a comprenderla mediante l’uso del computer, in simulazione

Popolazione X

X p(x) 1 0. 2 0. 3 0. 1

I (^) Il parametro media è pari a μ = E ( X ) = 2. I (^) Il parametro varianza è pari a σ^2 = Var ( X ) = 0. I (^) Il parametro deviazione standard è pari a σ = SD ( X ) =

Un altro possibile campione è, ad esempio, X 1 = 2 e X 2 = 3

La media sul campione è pari a x ¯ = 2 + 2 3 = 2_._ 5

La probabilità di estrarre il campione è pari a P ( X 1 = 2 , X 2 = 3 ) = P ( X 1 = 2 ) × P ( X 2 = 3 ) = 0_._ 3 × 0_._ 5 = 0_._ 15

... e così via... immaginiamo di estrarre tutti i possibili campioni di numerosità n = 2 e su ciascuno di questi calcoliamo la statistica campionaria media: si ottiene la distribuzione campionaria

Distribuzione campionaria della statistica t ( X 1 , X 2 ) = ¯ X ,

t

Distribuzione campionaria della statistica

t

• media campionaria: n = - 0. - 0. - 0.29 0. - 0.
  • 1. - 1 1.5 2 2.5 

    • n= funzione di probabilità
• t ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ¯ X , media campionaria: n = - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0.
  • 1. - 1 1.33 1.67 2 2.33 2.67 

    • n= funzione di probabilità

Distribuzione campionaria della statistica

t ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ¯ X , media campionaria: n = 3

I (^) La media di X ¯ = E ( X ¯ ) = 2.3 cioè si nota che in media l’errore campionario è pari a zero I (^) Mediamente l’errore campionario è pari a SD ( ¯ X ) = 0.

Distribuzione campionaria della statistica

t ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = ¯ X , media campionaria: n = 4

I (^) La media di X ¯ = E ( X ¯ ) = 2.3 cioè si nota che in media l’errore campionario è pari a zero I (^) Mediamente l’errore campionario è pari a SD ( ¯ X ) = 0.

Distribuzione campionaria della statistica

t ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) = ¯ X , media campionaria: n = 5

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 t

funzione di probabilità

n=