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Capitolo 12

Introduzione alla probabilità

Statistica: principi e metodi

L’ Inferenza statistica ha per oggetto l’analisi

di dati ottenuti da un campione casuale e si

pone come obiettivo quello di dare “validità

generale” alle informazioni desunte dal

campione.

Ha come base necessaria la teoria della

probabilità.

Probabilità e Statistica

Il singolo risultato dell’esperimento casuale

si chiama evento elementare.

L’ insieme degli eventi elementari viene

comunemente chiamato spazio dei risultati o

spazio campionario (S).

Si chiama evento un qualsiasi insieme di

eventi elementari , ossia un qualsiasi

sottoinsieme dello spazio campionario S.

Spazio campionario ed eventi

Consideriamo l’esperimento che consiste nel lanciare

un dado e osservare le facce che si presentano.

Esempio 1: spazio campionario ed

eventi

 Evento “uscita di un numero pari” A={2,4,6}

Esempio 3: spazio campionario ed

eventi

Esperimento del lancio di due dadi.

 Evento “somma uguale 7”

A={ (1,6),(2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Operazioni su insiemi

A
̅

S Dato un insieme A, si chiama

insieme complementare di A,

l’insieme dei elementi di S che non

appartengono ad A.

S

A B

Due insiemi A e B si dicono

disgiunti se non hanno elementi in comune

Operazioni su insiemi:

Intersezione

Cap. 12-

S

Si chiama insieme intersezione di A e B, e lo

si indica con il simbolo A ∩ B, l’insieme

costituito da tutti i punti che appartengono

contemporaneamente ad A e a B.

Formalmente possiamo scrivere A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}. L’intersezione tra insiemi può essere generalizzata ad una famiglia di n insiemi A 1 , A 2 , …,An

A ∩ B = B ∩ A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Se A⊆B allora A ∩ B = A

A ∩ S = A

A ∩ ∅ = ∅

Se A e B sono disgiunti , A ∩ B = ∅

A ∩
̅ = ∅

⋂ 
 = { :^
 per ogni i=1,…,n}

Operazioni su insiemi:

Differenza

S

La differenza tra due insiemi A e B è

l’insieme A\B dato da tutti gli elementi di A

che non appartengono a B.

Formalmente possiamo scrivere

A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}.

La differenza simmetrica tra due insiemi A

e B è l’insieme A∆B costituito da tutti gli

elementi che appartengono ad A oppure a B,

ma non ad entrambi.

Formalmente possiamo scrivere

A∆B = {x : x ∈ A e x ∈ B e x ∉ (A ∩ B)}.

S

La probabilità è una funzione d’insieme , P(·),

definita nello spazio campionario S, che gode

delle seguenti proprietà:

P( S) = 1;

P( A) ≥ 0, per ogni A;

P( A 1 ∪ A 2 ∪ ...) = P( A 1 ) + P( A 2 ) + ... per ogni successione di eventi di S a due a due incompatibili.

Probabilità: definizione assiomatica

Assiomi di probabilità

P(∅) = 0, essendo ∅ l’insieme vuoto, detto

anche evento impossibile ;

P( A) ≤ 1, per ogni A;

P( Ā ) = 1 - P( A), per ogni A ( regola

dell’evento complementare);

P( A 1 ∪ A 2 ) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - P( A 1 ∩ A 2 ), dove

A 1 e A 2 sono due eventi qualsiasi ( principio

delle probabilità totali o regola della

somma).

N.B.: queste proprietà si deducono formalmente dagli

assiomi di probabilità.

Probabilità: ulteriori proprietà

Quando gli N eventi elementari sono ugualmente

probabili , quando cioè pi = 1/ N, ( i = 1, 2, …, N), la

probabilità dell’evento A è

dove n ( A ) è il numero degli eventi elementari

contenuti in A.

Calcolo delle probabilità

N

n A P A

Riprendiamo l’Esempio 1 (lancio di un dado) e

calcoliamo le probabilità degli eventi: A “il risultato è un

numero pari”, E “il risultato è un numero maggiore o uguale a

4”, A∪ B: “il risultato è un numero pari o un numero maggiore

o uguale a 4”. [ A = {2, 4, 6}; E = {4, 5, 6} ]

È facile stabilire che:

P( A) = 3/6 = 0.
P( E) = 3/6 = 0.

P( A∪ B) = P( A) + P( E) − P( A∩ E) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/

Esempio 5: calcolo delle probabilità

N.B.: Per il calcolo della probabilità di A∪ B, abbiamo

applicato la regola della somma.

È facile stabilire che:

P( A) = 5/36 = 0.139;

P( B) = 30/36 = 0.833;
P(C) = 3/36 = 0.083.

D= Ā ; P(D)=P( Ā )=1-P(A)=1-5/36=0.

Esempio 7: calcolo delle probabilità

Riprendiamo l’Esempio 3 (lancio di due

dadi) e calcoliamo le probabilità degli

eventi:

A: “la somma dei numeri è 6”; B: “la differenza dei numeri, in valore

assoluto, è minore o uguale a 3”;

C: A ∩ B. D: “la somma dei numeri è diversa da 6”

Lancio di due dadi

Somma dei due dadi.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1

Differenza in valore assoluto dei due dadi.