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Capitolo 16

Stima puntuale dei

parametri

Statistica: principi e metodi

Si affronta il problema di come scegliere lo

stimatore più “conveniente” per attribuire un

valore ad un parametro θ di interesse nella

popolazione.

L’aggettivo “ puntuale ” viene impiegato per

distinguere questo problema dalla stima per

intervallo, con cui ci si pone l’obiettivo di

individuare un intervallo che contenga al suo

interno il parametro θ.

Stima puntuale

Spazio campionario

e spazio di un generico stimatore T

t 1

Osservazione 1Osservazione 2 Osservazione^ M n

Campione 1

Osservazione 1Osservazione 2 Osservazione^ M n

Campione 2 t 2

Osservazione 1Osservazione 2 Osservazione^ M n

Campione 3 t 3 M M

Popolazione

Parametro ====θθ θθ

Spazio dello stimatore T

Insieme di tutti i possibili campioni casuali di ampiezza n

Spazio campionario

Distribuzione campionaria di T

La statistica campionaria T=T(X 1 , X 2 ,…,Xn), utilizzata per stimare θ , viene denominata stimatore. Si chiama, invece, stima la singola determinazione dello stimatore, cioè il valore, t=t(x 1 , x 2 ,…,xn) che esso assume nel campione osservato

Stimatore e stima

Esempio: campione osservato (2,5,3,6,4,4,1,2,2,5) Parametro: θ=μ media della popolazione. Stimatore: media campionaria Stima:

= ∑=

10 i 1 i

X

X^1

x =(2+ 5 + 3 + 6 + 4 + 4 + 1 + 2 + 2 +5)/10= 3.

Sia T=T(X 1 , X 2 ,…,Xn), uno stimatore del

parametro θ.

Per valutare la “bontà” di uno stimatore si devono

considerare le sue proprietà e per stabilire se lo

stimatore T è più o meno appropriato per la

soluzione del nostro problema di stima è cruciale

studiare la v.c. T- θθθθ che viene definita errore di

stima.

Proprietà degli stimatori

Due questioni sono basilari per emettere un giudizio sullo

stimatore:

È desiderabile che

la media degli errori di stima sia nulla:

la media dei quadrati degli errori di stima ( errore quadratico medio )

sia “la più piccola possibile”.

Proprietà degli stimatori

E(T −θ) = 0

MSE( T ) = E( T − θ )^2

La proprietà della non distorsione può essere meglio apprezzata

ipotizzandone l’assenza. Non è, ovviamente, desiderabile né che

E(T)<θ né che E(T)>θ. Nel primo caso, lo stimatore produrrebbe

stime mediamente al di sotto del valore del parametro; nel secondo caso, stime mediamente al di sopra del valore del

parametro.

Proprietà degli stimatori

E(T1)=θ

D(T1)=

E(T2)<θ

D(T2)<

Esempio 1: non distorsione della media campionaria per una popolazione finita

Campioni di ampiezza 2 estraibili dalla popolazione {1, 2, 3, 4, 5}, avente

media μμ μμ ==== 3.

Nella tabella per ogni campione sono riportati la media campionaria e l’errore di stima campione media camp.

errore di stima

campion e

media camp.

errore di stima

campione media camp.

errore di stima 1; 1 1.0 -2.0 3; 1 2.0 -1.0 5; 1 3.0 0. 1; 2 1.5 -1.5 3; 2 2.5 -0.5 5; 2 3.5 0. 1; 3 2.0 -1.0 3; 3 3.0 0.0 5; 3 4.0 1. 1; 4 2.5 -0.5 3; 4 3.5 0.5 5; 4 4.5 1. 1; 5 3.0 0.0 3; 5 4.0 1.0 5; 5 5.0 2. 2; 1 1.5 -1.5 4; 1 2.5 -0. 2; 2 2.0 -1.0 4; 2 3.0 0. 2; 3 2.5 -0.5 4; 3 3.5 0. 2; 4 3.0 0.0 4; 4 4.0 1. 2; 5 3.5 0.5 4; 5 4.5 1.

Esempio 2: non distorsione della media campionaria per una popolazione continua

Piccolo sottoinsieme di campioni di ampiezza 5 provenienti da una popolazione normale con media 265 e varianza 18^2 (vedi Esempio 4 del cap. 15). A ciascun campione è associato l’errore di stima. Calcolare la quantità equivale a calcolare

Il valore atteso degli errori di stima è 0 perché sappiamo che

da cui

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 282.1 270.6 256.5 300.1 276.2 277.1 12. 249.4 266.6 303.5 254.4 255.0 265.8 0. 258.2 259.5 269.5 316.3 240.0 268.7 3. 253.3 270.6 299.4 250.2 262.7 267.2 2. 248.6 291.5 264.3 258.5 265.9 265.8 0. 269.1 232.2 267.0 252.2 256.6 255.4 -9. 257.7 268.4 249.3 284.0 274.2 266.7 1. 268.0 278.1 297.7 255.9 252.3 270.4 5. 285.1 278.8 263.3 284.1 249.6 272.2 7. 272.8 314.1 262.4 285.3 257.0 278.3 13. 245.2 267.4 274.5 259.5 226.9 254.7 -10. 271.1 291.7 275.4 282.9 242.3 272.7 7. 229.1 236.7 243.0 280.9 250.8 248.1 -16. 230.9 246.2 262.4 240.6 287.6 253.5 -11. 246.7 262.2 230.3 280.6 291.3 262.2 -2.

x x − μ

E( X − μ ) E ( X − μ)= ∫ ( x − μ) f ( x ) dx = 0

E( X )= μ

E ( X −μ )= E( X )−μ = μ− μ = 0

Non distorsione della media, della proporzione e della varianza campionarie

La media campionaria, la proporzione campionaria e la varianza campionaria sono stimatori non distorti dei rispettivi parametri

E(p ˆ) = μpˆ =p, ∀ p;

E(X ) = μX =μ, ∀ μ;

E(S^2 ) =μ S 2 =σ^2 , ∀σ^2.

∑^ ;

n

i 1

n Xi

X

Media campionaria

Proporzione campionaria

Varianza campionaria ( )

n- 1

X X

S

n

i 1

i 2

∑

2

0 sel'unità inon presenta la modalità di interesse

1 se l'unità ipresenta la modalità di interesse

= (^) ∑

X i

Xi

X

n

p^1 n

i 1 i

Nella figura sono riportate le distribuzioni campionarie di due stimatori corretti.
Lo stimatore T 1 (linea rossa) possiede un errore quadratico medio (ossia una varianza) più piccolo di T 2 (linea nera).

Stimatori corretti e MSE

Esempio 3: errore quadratico della media campionaria

per una popolazione finita

Campioni di ampiezza 2 estraibili dalla popolazione {1, 2, 3, 4, 5}, avente media μμ μμ (^) ==== 3, medie campionarie e relativi errori di stima al quadrato. campione media camp.

quadrato errore di stima

campione media camp.

quadrato errore di stima

campione media camp.

quadrato errore di stima 1; 1 1.0 4.0 3; 1 2.0 1.0 5; 1 3.0 0. 1; 2 1.5 2.3 3; 2 2.5 0.3 5; 2 3.5 0. 1; 3 2.0 1.0 3; 3 3.0 0.0 5; 3 4.0 1. 1; 4 2.5 0.3 3; 4 3.5 0.3 5; 4 4.5 2. 1; 5 3.0 0.0 3; 5 4.0 1.0 5; 5 5.0 4. 2; 1 1.5 2.3 4; 1 2.5 0. 2; 2 2.0 1.0 4; 2 3.0 0. 2; 3 2.5 0.3 4; 3 3.5 0. 2; 4 3.0 0.0 4; 4 4.0 1. 2; 5 3.5 0.3 4; 5 4.5 2.

Esempio 4: errore quadratico medio della media campionaria per una popolazione continua

Piccolo sottoinsieme di campioni di ampiezza 5 provenienti da una popolazione normale con media 265 e varianza 18^2 (vedi Esempio 4 del cap. 15). A ciascun campione è associato il quadrato dell’errore di stima. Calcolare l’errore quadratico medio equivale a calcolare

Nel caso della media campionaria, il MSE coincide sempre con la varianza dello stimatore

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 282.1 270.6 256.5 300.1 276.2 277.1 146. 249.4 266.6 303.5 254.4 255.0 265.8 0. 258.2 259.5 269.5 316.3 240.0 268.7 13. 253.3 270.6 299.4 250.2 262.7 267.2 4. 248.6 291.5 264.3 258.5 265.9 265.8 0. 269.1 232.2 267.0 252.2 256.6 255.4 92. 257.7 268.4 249.3 284.0 274.2 266.7 2. 268.0 278.1 297.7 255.9 252.3 270.4 29. 285.1 278.8 263.3 284.1 249.6 272.2 51. 272.8 314.1 262.4 285.3 257.0 278.3 176. 245.2 267.4 274.5 259.5 226.9 254.7 106. 271.1 291.7 275.4 282.9 242.3 272.7 59. 229.1 236.7 243.0 280.9 250.8 248.1 285. 230.9 246.2 262.4 240.6 287.6 253.5 132. 246.7 262.2 230.3 280.6 291.3 262.2 7.

x (^) ( x − μ )^2

[ ] 5

18 E( ) ( ) ( )

2 2 2 X − μ = ∫ x − μ f x dx =

Poiché gli stimatori godono della

proprietà della non distorsione, il MSE è uguale

alla varianza degli stimatori.

MSE della media campionaria, della proporzione

campionaria e della varianza campionaria

2 X , pˆ e S

; n

σ MSE(X) Var(X)

2 = =

; n

p(1 p) MSE(p ) Var(p )

− ˆ = ˆ =

. n 1

n γ 2 n

σ MSE(S ) Var(S ) 2

4 2 2  

  

 −

= = +